Forum de mathématiques - Bibm@th.net

legend

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Suites [Résolu]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour résoudre quelques exercices sur les suites.

Ex 1:

(Un) est une suite arithmétique telle que U2 + U3 + U4=15 et U6=20
Calculer son premier terme U0 et sa raison r.

Merci d'avance.

freddy

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Re : Suites [Résolu]

Salut !

Oui, et bien quoi, que veux tu qu'on fasse ? Ton exo à ta place ?

Que nenni, dis nous ce que tu sais faire et on te dira comment continuer !

Bb

PS : salut yoshi ! j'étais sûr que tu n'étais pas loin ...

Dernière modification par freddy (20-12-2010 22:01:51)

yoshi

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Re : Suites [Résolu]

Bonsoir,

Et bienvenue sur BibM@th...

Tout va se résumer à la résolution d'un système de 2 équations à 2 inconnues, U0 et r.
Ton cours précise (si, si, ça peut servir, un cours, la preuve... :-)) :
U1 = U0+r
U2 = U1+r = U0+r+r =U0+2r
U3 = U2+r = U0+2r+r = U0 + 3r
........................
Et ainsi de suite...

Ce n'est pas plus difficile que ça...

@+

[EDIT] Salut freddy...

Dernière modification par yoshi (20-12-2010 21:54:04)

legend

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Re : Suites [Résolu]

Merci à vous mais sérieux, je ne trouve pas du tout:

voilà je que j'ai:

U2+U3+U4=15
U6=20

U0+2r+U0+3r+U0+4r=15
U0+6r=20

3U0+9r=15
U0+6r=20

3U0=15-9r
U0=20-6r

freddy

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Re : Suites [Résolu]

Bonjour,

sérieux, tu as tout ce qu'il te faut !

Regarde :

[tex]3U_0=15-9r \Leftrightarrow U_0=5-3r[/tex] et [tex]U_0=20-6r[/tex]

Donc en rapprochant les deux égalités qui définissent [tex]U_0[/tex] de deux façons différentes en fonction de r uniquement, on a :

[tex]5-3r=20-6r \Leftrightarrow 6r-3r=20-5 \Leftrightarrow 3r=15  \Leftrightarrow r=5[/tex]

Et maintenant, en remplaçant r = 5 dans l'une des deux équations définissant [tex]U_0[/tex], on trouve :

[tex]U_0 = -10[/tex]

C'est OK pour toi ?

yoshi

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Re : Suites [Résolu]

Bonjour,

Je ne vois pas de raison objective à ce que tu ne trouves pas...
Je t'avais dit "système de 2 équations à 2 inconnues, U0 et r" : freddy l'a résolu sans le dire par la méthode de substitution.
Tu avais donc, je récapitule :
[tex]\begin{cases}U_0+6 r&= 20\\3U_0+9r&=15\end{cases}[/tex]
Si c'est le fait que les inconnues se nomment U0 et r qui te gênent, on peut les remplacer respectivement par x et y :
[tex]\begin{cases}\;\,x+6y&=20\\3x+9y&=15\end{cases}[/tex]
Où est le problème ?
De plus, maintenant tu donnes ça à un élève de 3e en disant que tu ne sais pas faire, il te rit au nez... :-(

On peut encore résoudre de plusieurs façons :
1. Méthode d'addition/combinaison directe (façon 1)
On multiplie les 2 membres de la 1ere équation par -3 : [tex]\begin{cases}-3U_0-18 r&= -60\\\;\;\;3U_0+9r&=\;\;15\end{cases}[/tex]
Tu additionnes les 2 équations membre à membre :
[tex]-3U_0-18r+3U_0+9r=-60+15[/tex]
Ce qui équivaut à :
[tex]-9r=-45[/tex]

2. Méthode d'addition/combinaison directe (façon 2)
Je remarque que tous les termes de la 2e équation sont multiples de 3, je simplifie donc par 3 :
[tex]\begin{cases}U_0+6 r&= 20\\U_0+3r&=5\end{cases}[/tex]
Je soustrais membre à membre : ligne 1 - ligne 2 :
[tex]U_0+6 r-(U0+3r)=20-5[/tex]
Ce qui te ramène à :
[tex]3r=15[/tex]
Dans les deux cas, tu retombes sur ce qu'a fait freddy.

Va jeter un œil là, ça ne peut pas te faire de mal : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4126

Tout est ok maintenant ?

@+

legend

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Re : Suites [Résolu]

Bonjour et merci pour l'explication.

U2+U3+U4=15
U6=20

U0+2r+U0+3r+U0+4r=15
U0+6r=20

3U0+9r=15
U0=20-6r

3U0=15-9r
3Uo=60-18r

3U0=15-9r
15-9r=60-18r

3U0=15-9r
15-60=-18r-9r

3U0=15-9r
-45=-9r

3U0=15-9r
r=5

Calculons ensuite U0:
U0=U6-6 [tex]\times [/tex]5=20-30=-10

Je souhaiterai savoir si ma rédaction est bonne ou si je devrai changer quelque chose car ça serait bête de perdre des points pour ça au bac.

Merci d'avance.

yoshi

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Re : Suites [Résolu]

Re,

Ce que je peux dire, c'est qu'il y a un déficit d'explication : j'ai toujours râlé quand on me présentait des listes de calcul sans un mot de liaison ou autre...
J'aurais présenté ça comme suit.

On sait que Un est une suite arithmétique de 1er terme U0 ([i]N-B à ton intention : il arrive que ce soit U1[:/]) et de raison r, donc :
Un = U0+nr
Il vient alors :
U6 = U0+6r.
Or U6 = 20, ce qui équivaut à U0 + 6r = 20 (1)
U2+U3+U4 = U0+2r+U0+3r + U0 + 4r = 3U0 + 9r
Or U2+U3+U4 = 15, on obtient donc 3U0 + 9r = 15 (2)
Avec (1) et (2) on forme le système :
[tex]\begin{cases}\;\;U_0 + 6r &= 20 \\ 3U_0 + 9r &= 15\end{cases}[/tex]
que l'on va résoudre par la méthode de ... etc...
Tu précises addition/combinaison (en fonction de la terminologie que tu as apprise) ou substitution
Et tu effectues tes calculs.
Tu termines en "revenant au problème" par une phrase de réponse du genre :
La suite arithmétique Un a pour premier terme U0 = -10 et raison r = 5

Ça te va ?

@+

PS
La substitution consiste à tirer U0 d'une équation :
[tex]U_0 + 6r = 20\; \Leftrightarrow\; U_0 = 20 -6r[/tex]
Pour en reporter son expression en fonction de r dans l'autre :
[tex] 3(20 - 6r) + 9r = 15[/tex]
...............
etc...

freddy

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Re : Suites [Résolu]

Pour la rédaction, c'est un peu sec.

Voilà comment je ferai :

données du problème :

U2+U3+U4=15
U6=20

On sait que si (u) est une suite arithmétique depremier terme U(0) et de raison r, alors u(n)=u(0)+n.r

donc :

U0+2r+U0+3r+U0+4r=15
U0+6r=20

soit à résoudre le système de deux équation à deux inconnues :

3U(0)+9r=15
U(0)=20-6r

3U(0)=15-9r
3U(0)=60-18r

3U0=15-9r
15-9r=60-18r

3U0=15-9r
15-60=-18r-9r

3U0=15-9r
-45=-9r

3U0=15-9r
r=5

Calculons ensuite U0:
U0=U6-6 [tex]\times [/tex]5=20-30=-10

C'est un peu long pour arriver au résultat mais je laisse yoshi l'expert s'exprimer. Person, juste après le système d'équation, je donnerais le résultat en r et U(0).

Bb

legend

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Re : Suites [Résolu]

ok merci beaucoup.

yoshi

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Re : Suites [Résolu]

Re,

Y a de l'écho... :-)
freddy, je vois avec plaisir  qu'on est sur la même ligne de pensée...

@+

freddy

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Re : Suites [Résolu]

Salut yoshi,

si tu savais comme j'ai dû me battre pour que mes "prépas" rédigent leur solution ...