Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

Maryem92 · 14-12-2010 20:56:46

Bonjour,
j'ai un petit souci, je n'arrive pas à calculer
[tex]\lim _{x\to +\infty}{e}^{x}-\,x[/tex] car je trouve une forme indéterminée.

Merci d'avance pour votre aide.

yoshi · 14-12-2010 21:06:45

Bonsoir,

Mets x en facteur : [tex]e^x-x=x\left(\frac{e^x}{x}-1\right)[/tex]
Et la limite de [tex]\frac{e^x}{x}[/tex] en +oo est connue et tu ne sera pas embêtée par le -1...

@+

Maryem92 · 14-12-2010 21:17:47

ok merci et pour la même chose en -oo, comment peut-on faire car on ne connaît pas [tex]{\lim }_{x\Rightarrow -oo}\frac{{e}^{x}}{x}[/tex].

Merci d'avance.

yoshi · 14-12-2010 21:51:08

Re,

On pose x =-X.
X --> +oo quand x --> -oo
[tex]x\left(\frac{e^x}{x}-1\right)=-X\left(\frac{e^{-X}}{-X}-1\right)=-X\left(\frac{1}{-X.e^X}-1\right)=X\left(\frac{1}{X.e^X}+1\right)[/tex]
Et la limite de [tex]\frac{1}{Xe^X}[/tex] en +oo est 0...
La suite coule de source.
Il y a peut-être plus simple, mais ce soir, je ne suis pas en état de faire mieux.

@+

[EDIT] Bin si, je peux...
Là, pas d'indétermination :
[tex]\lim_{x \to -\infty}e^x = 0[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty}-x = +\infty[/tex]
Donc
[tex]\lim_{x \to -\infty}( e^x - x) = 0+\infty = +\infty[/tex]

Dernière modification par yoshi (14-12-2010 22:02:23)

Maryem92 · 14-12-2010 22:09:46

Re, je ne comprend pas la différence entre X et x.

yoshi · 14-12-2010 22:17:45

Re,

Je fais un changement de variable : je remplace x par -X : x et X sont donc des opposés...
Donc quand x tend vers +oo, X tend vers +oo : tu n'as jamais vu de changement de variable ?
Si X te gêne, t'as qu'à tout refaire en remplaçant x par z et écrire x = -z...

De toutes façons, il n'y a pas besoin de ça : relis le [EDIT] du post précédent : peut-être étais-tu en train de lire ma réponse, quand j'ai édité mon post précédent pour insérer le rectificatif ?

@+

Maryem92 · 15-12-2010 14:16:39

Bonjour, ce n'est pas plutôt X tend vers -oo quand x tend vers +oo.

Merci d'avance.

yoshi · 15-12-2010 14:27:31

Re,

C'est toi qui as demandé la limite de [tex]e^x-x[/tex] quand [tex]x\; \to\;-\infty[/tex], moins l'infini....
Si je prends X = opposé de x, soit x = -X , alors X tend vers +oo quand x --> -oo (et réciproquement d'ailleurs).
Pour répondre à la question que tu as posée, j'avais donc remplacé la recherche de la limite de
[tex]x\left(\frac{e^x}{x}-1\right)[/tex] quand x ---> -oo
par la recherche de la limite de :
[tex]X\left(\frac{1}{Xe^X}+1\right)[/tex] quand X --> +oo (à cause changement de variable).

Puis, en me ravisant je t'ai expliqué qu'il y avait bien plus simple puisque pour la limite de [tex]e^x-x[/tex]quand x --> -oo, il n'y avait pas d'indétermination : 0 + oo, c'est +oo...

@+

Maryem92 · 15-12-2010 16:23:49

Re, ok merci j'ai compris:

Voici un nouvel exercice:

Résoudre dans R les inéquations suivantes.

[tex]{e}^{2x-1}>e\sqrt{e}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow {e}^{2x-1}>{e}^{\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow 2x-1>\frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow 2x>\frac{5}{2}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow x>\frac{5}{4}[/tex]

S= ] [tex]\frac{5}{4}[/tex] ; +oo[

Voilà je ne comprend pas d'où le [tex]\frac{3}{2}[/tex] vient.

Merci d'avance.

yoshi · 15-12-2010 16:29:05

Re,

Juste un truc à savoir :

[tex]\sqrt e = e^{\frac 1 2}[/tex] et comme [tex]e = e^1[/tex]...

@+

Maryem92 · 15-12-2010 16:41:03

ok d'accord mais je ne vois du tout comment faire pour trouver 3 au numérateur.

Merci d'avance.

Dernière modification par Maryem92 (15-12-2010 16:43:10)

yoshi · 15-12-2010 16:48:32

Re,

Là, je me permets un haussement de sourcil interrogateur... ;-)
Tu vas sans doute chercher bien loin, ce qui est là juste sous ton nez...
1. Règle des puissances, classe de 4e :
[tex]a^m\times a^n=a^{m+n}[/tex]
Donc [tex]e^1\times e^{\frac 1 2}=e^{1+\frac 1 2}[/tex]
2. On redescend d'un ou deux niveaux :
[tex]1+\frac 1 2 =\frac 2 2+\frac 1 2 =\frac 3 2[/tex]

C'est bon ?
Faut pas toujours chercher des choses compliquées...

@+

Maryem92 · 15-12-2010 16:51:20

Ah oui désolé, je ne s'est pas pourquoi je n'ai pas pensé à ça.

Merci.

Maryem92 · 15-12-2010 20:16:12

Re,

J'ai un petit soucis, je ne comprend comment on passe de la première étape à la deuxième.

[tex]\Longleftrightarrow C{e}^{\frac{3}{5}}=\,-1\,+\frac{2}{3}=\,-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow C=-\frac{1}{3}e[/tex]

Merci d'avance.

Dernière modification par Maryem92 (15-12-2010 20:37:23)

yoshi · 15-12-2010 21:09:29

Bonsoir,

Pour le coup, moi non plus...
Puis-je avoir l'énoncé complet ?

Autres questions :
Tu as écrit : [tex]Ce^{\frac 3 5}[/tex], s'agit-il bien de l'exposant [tex]\frac 3 5[/tex] ?
[tex]C=\frac 1 3 e[/tex] ? Très étrange parce que si je remplace C (pourquoi grand C ? Et pas petit c ?) par sa valeur dans l'équation de départ, j'obtiens :
[tex]-\frac 1 3 e\times e^{\frac 3 5}=-\frac 1 3 e^{1+\frac 3 5}=-\frac 1 3 e^{\frac 8 5}[/tex]
Rien à voir avec le résultat donné [tex]-\frac 1 3[/tex]

Et d'ailleurs, d'où sort cette valeur [tex]-1+\frac 1 3[/tex] ? Elle a été obtenue comment ? Qu'est-ce qui précède la 1ere ligne que tu as donnée ?

@+

Maryem92 · 15-12-2010 21:51:40

Re,

Énoncé: Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution vérifiant la condition initiale donnée:

B)5y'-3y=2 et y(1)=-1

[tex]\Longleftrightarrow 5y'\,=\,3y\,+\,2[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow y'\,=\frac{3}{5}y\,+\frac{2}{5}[/tex]

Les solutions de (E) sont toutes les fonctions [tex]x\rightarrow Ce{\,}^{\frac{3}{5}}-\,\frac{2}{3}[/tex]

y(1) = -1
[tex]\Longleftrightarrow Ce{\,}^{\frac{3}{5}}=-1+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow C=-\frac{1}{3}e[/tex]

La solution cherchée est la fonction [tex]x\rightarrow -\frac{1}{3}{e}^{-\frac{3}{5}}{e}^{\frac{3}{5}x}-\frac{2}{3}[/tex]

ou [tex]x\rightarrow -\frac{1}{3}{e}^{\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}}-\frac{2}{3}[/tex]

[tex]\left(-\frac{1}{3}{e}^{\frac{3}{5}\left(x-1\right)}-\frac{2}{3}\right)[/tex]

Merci d'avance.

yoshi · 15-12-2010 22:59:45

Bonsoir,

Ah ! Je comprends mieux maintenant ...
Je vais refaire le tout, afin que ce soit bien clair.
1. D'abord, je cherche une solution générale sans 2nd membre en résolvant :
[tex]y'-\frac 3 5 y \equiv 0 [/tex]
Une telle solution est de la forme [tex]g(x) = Ce^{\frac 3 5 x}[/tex]
2. Je cherche ensuite une solution particulière p(x) pour que le 2e membre soit 2/5
Une telle solution est [tex]p(x)=-\frac 2 3[/tex] puisque [tex]-\frac 3 5 \times \left(-\frac 2 3\right)= \frac 2 5[/tex]

3. La solution finale est [tex]f(x)=g(x)+p(x)= Ce^{\frac 3 5 x}-\frac 2 3[/tex]

4. Je cherche C à partir de y(1)=-1 : [tex] Ce^{\frac 3 5}-\frac 2 3 = -1[/tex]
Soit [tex] Ce^{\frac 3 5}-\frac 2 3 = -1\; \Leftrightarrow\; Ce^{\frac 3 5}=-1+\frac 2 3 =-\frac 1 3 [/tex]
Jusque là tout va bien,, c'est après que ça gâte...
Je divise les 2 membres par l'exponentielle, ce qui revient à les multiplier avec l'opposé de l' exposant :
[tex] Ce^{\frac 3 5}\times e^{-\frac 3 5}=-\frac 1 3 \times e^{-\frac 3 5}[/tex]
D'où :
[tex] C=-\frac 1 3 \times e^{-\frac 3 5}[/tex]

5. Enfin. on remplace C :
[tex] y=-\frac 1 3 e^{-\frac 3 5}e^{\frac 3 5 x}-\frac 2 3 =-\frac 1 3 e^{\frac 3 5 x-\frac 3 5} -\frac 2 3 [/tex]
Ou encore :
[tex] y=-\frac 1 3 e^{\frac 3 5( x-1)} -\frac 2 3 [/tex]

C'est bon ?

@+

Dernière modification par yoshi (15-12-2010 23:17:50)

Maryem92 · 15-12-2010 23:49:24

ok merci pour l'explication j'ai compris.

J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant qui m'a l'air très difficile.

Soit (E) l'équation [tex]y'=-3y+4{e}^{-2x}[/tex]

1)Déterminer le réel lambda tel que la fonction g, définie sur R par g(x)= lambda [tex]{e}^{-2x}[/tex], soit solution de (E).

2)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si, et seulement si, la fonction h=f-g est solution de léquation différentielle:
y'=-3y (E')

3) Résoudre sur R l'équation différentielle (E')

4)En déduire les solutions de (E) sur R.

Merci d'avance

Dernière modification par Maryem92 (16-12-2010 08:51:35)

freddy · 16-12-2010 09:24:54

Bonjour,

je m'immisce dans la conversation ... (une nouvelle question, un nouveau sujet ?)

Bon, si g vérifie E, alors [tex]g'=-3g+4{e}^{{2x}}\Longleftrightarrow -2\lambda {e}^{{-2x}}=-3\lambda {e}^{{-2x}}+4{e}^{{-2x}}[/tex]

donc ...

Maryem92 · 16-12-2010 09:31:35

Bonjour,

donc lambda=4 c'est ça?

Merci d'avance.

freddy · 16-12-2010 09:38:10

Re,

la seconde question consiste à vérifier un résultat classique (solution de l'équation différentielle sans second membre).

Donc supposons que f soit solution de E, alors

(f-g)'=f'-g'=(-3f+g)-(-3g+g)=-3(f-g) (car lambda=4 !), donc h'=-4h.

On a donc bien vérifié les termes de la question 2).

Dernière modification par freddy (16-12-2010 12:26:32)

freddy · 16-12-2010 09:39:20

Maryem92 a écrit :

Bonjour,
donc lambda=4 c'est ça?
Merci d'avance.

oui tout à fait !

yoshi · 16-12-2010 10:22:02

Salut Maryem, salut freddy,

freddy s'immisce ? Parfait, je me sentais un peu seul...
Une chose me tourmente depuis tout à l'heure.
La question 2 dit : f est solution si et seulement si f-g est solution de (E)... si et seulement si.
Bizarrement foutue comme question.
A double détente ?
Pour moi, il a été montré que si f est une solution de E, alors f-g est solution de E, mais il manque : si f-g est solution de (E) alors f est solution de (E)...

Donc sachant que g est solution de (E) on a : g'=4g
Si f-g est solution de (E), alors (f-g)'=4(f-g) et on arrive facilement à f'=4f...

@+

freddy · 16-12-2010 10:47:28

@yoshi,

oui, tu as tout à fait raison, bien sûr, j'aurais dû dire : si f solution de E, alors ...

Réciproquement, supposons que f-g vérifie ... , alors ...

Mais je n'étais pas dans une excellent disposition physique pour le faire

Scuzy !!!

As tu vu ma requête sur le sujet "l'horticuleur" ?

yoshi · 16-12-2010 11:24:21

Re,

Vu...
Déplacé...

[Mode HS]
Aie !!!
freddy, le y n'existe pas en Italien, et le z se prononce dz... donc pour prononcer comme la phonétique de ton écriture, on écrit donc scusi du verbe scusare... ;-)
[/Mode HS]

@+

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#1 14-12-2010 20:56:46

Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#2 14-12-2010 21:06:45

Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#3 14-12-2010 21:17:47

Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#4 14-12-2010 21:51:08

Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#5 14-12-2010 22:09:46

Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#6 14-12-2010 22:17:45

Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#7 15-12-2010 14:16:39

Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

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Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

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Re : Exponentielle limite indéterminée [Résolu]

#10 15-12-2010 16:29:05

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