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Michael_flux

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Nature d'une intégrale paramétrée

Bonsoir à tous. Me revoilà avec un nouvel exercice sur les intégrales paramétrées.
En fait, on me dit de montrer que l'intégrale allant de 0 à 1 de X^b (-lnx)^c existe pour b>-1 et c>-1
Franchement, je n'ai pu démarrer cette fois. Aidez-moi svp. Merci et bonne soirée.

Fred

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Re : Nature d'une intégrale paramétrée

Salut,

  Tu devrais utiliser le code Latex ou l'éditeur d'équations du site.
Bon, si j'ai bien compris, ton intégrale est :
[tex]\int_0^1 x^b (-\ln x)^c dx[/tex]

Il peut y avoir un problème en 1 et un problème en 0.... L'idée est d'évaluer la fonction
(trouver un équivalent, ou la dominer par une fonction dont l'intégrale converge).

* Pour le problème en 1,  tu peux utiliser un équivalent facile de [tex]\ln x[/tex]. Tu as donc
[tex]x^b (-\ln x)^c\sim_1 x^b(1-x)^c\sim_1 (1-x)^c[/tex]
et tu t'es ramené à une intégrale de Riemann.

* Pour le problème en 0, c'est plus difficile car on ne peut pas trouver d'expression plus facile.
L'idée est que le logarithme "ne sert à rien" car il va "être tué" par la puissance.
Concrètement, tu considères [tex]x^d[/tex] pour -1<d<b et tu montres que
[tex]\left| x^b(-\ln x)^c|\leq x^d[/tex] pour x proche de 0....

Fred.

Michael_flux

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Re : Nature d'une intégrale paramétrée

Okay, merci Fred. j'ai pris note et je vais essayer voir ce que ça me donne. @ +