Dérivabilité et tangente à la courbe [Résolu]

maria · 06-12-2010 20:47:53

Bonjour ,

J'ai commencé à faire un exercice mais je ne sais pas si les réponses sont correctes et il ya une question à laquelle je n'ai pas su répondre . Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici l'énoncé : On considère la fonction f définie sur [0;+ l'infini [ par f(x)= x racine carré de x
On note Cf sa courbe représentative dans un repère

1. Etudier la dérivabilité de f en 0 :

(f(0+h)- f(0) ) / h = (0+ (h racine carré de 0+h) - 0 racine carré de 0 ) /h
=( h racine carré de h ) /h
=( racine carré de h ) /1

lim (racine carré de h /1) = - l'infini
h tend vers 0

j'ai essayé de prendre différentes valeurs de h pour calculer racine carré de h / 1 pour voir si le taux de h tend vers une valeur limite lorsque h tend vers 0

h : 0.1 0.01 0.001 0.0001
racine carré de h /1 : 0.316 0.1 0.0316 0.01

mais à partir de ce tableau je ne sais pas comment montrer que f est dérivable ou non en 0

2. Déterminer l'ensemble sur lequel la fonction f est dérivable , puis calculer sa fonction dérivée

f(x) = x racine carré de x= u*v avec u= x u'= 1
v= racine carré de x v' = 1/(2 racine carré de x)

f est dérivable sur ]0; +l'infini [ (produits de 2 fonctions dérivables sur ]0; +l'infini [
Pour tout x appartenant à ]0 ; +l'infini [ , on a :
f'(x) = x racine carré de x
= u'v+ uv'
= 1* racine carré de x + x * ( 1/ 2 racine carre de x)
= 1 racine carré de x + ( x/ 2 racine carré de x)

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 4

équation de la tangente à la courbe : f'(a) + (x-a) + f(a)
donc y = f'(4) (x-4)+f(4)
f(4) = 4 racine carré de 4
mais je suis bloquée car je ne sais pas comment déterminer f'(4)

Merci pour votre aide

Dernière modification par maria (06-12-2010 20:48:38)

yoshi · 06-12-2010 23:20:27

Re,

Je répondrai mieux si nécessaire demain...
1. Ta fonction f telle que [tex]f(x)= \sqrt x[/tex] est dérivable en 0 si
[tex]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}[/tex] tend vers une limite finie quand h tend vers 0...
[tex]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}=\frac{h\sqrt h}{h}=\sqrt h[/tex], on est d'accord.
Quelle est donc la limite de [tex]\sqrt h[/tex] : est-elle finie ou pas ?

2. Sur ]0 ; +oo[ elle est assurément dérivable comme produit de fonctions dérivables. Tu n'as plus qu'à compléter ou pas en 0...
Tu ferais bien d'utiliser l'éditeur d'équations mis au point par Fred...
[tex]f'(x)=\sqrt x + \frac{x}{2\sqrt x}=\sqrt x+\frac 1 2\sqrt{\frac{x^2}{x}}=\sqrt x+\frac{\sqrt x}{2}=\frac{3\sqrt x}{2}[/tex]...

3. Tu vas quand même t'en sortir, non maintenant ?

@+

freddy · 06-12-2010 23:28:21

Salut,

avec latex, c'est un poil plus lisible.

Bon, ta fonction est [tex]\forall x\geq 0,\,f\left(x\right)=x\sqrt{x}[/tex]

Dérivabilité en 0 (à droite) : la fonction est définie en ce point (f(0)=0) et :

[tex]\lim _{h \to 0}\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\lim _{h \to 0}\sqrt{h}=0[/tex]

Donc la fonction est dérivable en 0.

Par suite, elle est dérivable sur ]0, + infini [ comme produit de deux fonctions dérivables.

Calcul de la dérivée : [tex]\forall x>0,\,f'\left(x\right)=\left(x\times \sqrt{x}\right)'=\sqrt{x}+\frac{1}{2}\times \frac{x}{\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}[/tex] et f'(0)=0.

A suivre ...

PS : me doutais bien que yoshi n'était pas loin ! Hello !!!

Dernière modification par freddy (07-12-2010 08:17:18)

yoshi · 07-12-2010 08:01:47

Salut,

Eh oui, freddy, j'ai pris le risque de répondre à cette heure-là qui est mauvaise pour moi... ;-)
Tu as bien fait de préciser dérivabilité à droite, j'y ai pensé trop tard.
Bon, je reposte simplement pour ressortir ma paresse mathématique du tiroir où elle ne dort qu'un oeil..
Il suffit d'écrire que :
[tex]x\sqrt x = x^{\frac 3 2}[/tex]
Et la dérivée est directement obtenue à partir du cours, sans "autre forme de procès" :
[tex](x^{\frac 3 2})'=\frac 3 2 x^{\frac 1 2}[/tex]

@+

PS
freddy, j'ai retouché ton post juste pour te montrer la différence d'affichage entre x \to 0 (à gauche du =) et x \rightarrow 0 (à droite du =)...

freddy · 07-12-2010 08:18:52

Salut yoshi,

oui, c'est plus propre ... j'ai fini le travail, c'est plus joli. Faudrait demander à Fred de modifier l'éditeur.

A pluche .

maria · 07-12-2010 16:13:15

Bonjour , merci pour votre aide mais excusez moi je ne comprends pas le calcul de la dérivée

Dernière modification par maria (07-12-2010 16:20:33)

thadrien · 07-12-2010 22:56:17

Un tuyau pour Latex : WxMaxima permet à partir d'une formule donnée sous forme "informatique" du type 1/(1+sqrt(1+x^2)) d'obtenir la forme Latex du type [tex]{{1}\over{1+\sqrt{x^2+1}}}[/tex].

Dernière modification par thadrien (07-12-2010 22:56:39)

yoshi · 07-12-2010 23:15:08

RE,

Maria, oui, on fait u'v+uv'
Avec :
u=x et u'=1
[tex]v=\sqrt x[/tex] et [tex]v' =\frac{1}{2\sqrt x}[/tex]
J'ajoute une ou deux étapes :
[tex]f'(x)=1\times\sqrt x + x\times\frac{1}{2\sqrt x}=\sqrt x + \frac{x}{2\sqrt x}=\sqrt x + \frac{\sqrt{x^2}}{2\sqrt x}=\sqrt x+\frac 1 2\sqrt{\frac{x^2}{x}}=\sqrt x+\frac{\sqrt x}{2}=\frac{3\sqrt x}{2}[/tex]

Quant à l'autre méthode, elle est basée sur : [tex](x^n)'=nx^{n-1}[/tex]
1. [tex]\sqrt x = x^{\frac 1 2}[/tex]
2. [tex]x = x^1[/tex]
3. [tex]x\sqrt x = x^1\times x^{\frac 1 2}=x^{1+\frac 1 2}=x^{\frac 3 2}[/tex]
4. [tex](x^{\frac 3 2})'=\frac 3 2}\times x^{\frac 3 2 - 1}=\frac 3 2}\times x^{\frac 1 2}=\frac {3x^{\frac 1 2}}{ 2}=\frac{3\sqrt x}{2}[/tex]

Est-ce que ça répond à tes interrogations ?

@+

maria · 09-12-2010 12:14:39

Bonjour oui merci pour votre aide

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Dérivabilité et tangente à la courbe [Résolu]

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