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Mélissa-m

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Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonsoir,

j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour un exercice.

EX 1:
1)Soit la fonction définie sur R par  [tex]g\left(x\right)={x}^{3}-\,3x\,-\,3[/tex]

a) Étudier le sens de variation de g sur R.

Voilà le problème c'est quand je calcule la dérivé  [tex]g'\left(x\right)=3{x}^{2}-3[/tex], je ne tombe pas sur un polynôme du type  [tex]a{x}^{2}+bx+c[/tex] , je suis donc bloquée car je ne peut pas calculer le discriminant.

Merci d'avance pour votre précieuse aide.

Dernière modification par Mélissa-m (04-12-2010 19:30:43)

freddy

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonsoir,

mais si, regarde bien ET identifie : a = 3, b = 0 et c=-3.

OK d'ac ?

Dernière modification par freddy (04-12-2010 20:10:22)

yoshi

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

RE,

Le discriminant, dans le cas présent, pour quoi faire ? T'as besoin d'un lance-roquettes pour détruire un moustique ?
Regarde mieux :
[tex]g'(x)=3x^3-3=3(x^2-1)[/tex]
Et que vois-tu, là, dans la parenthèse ?...
Oh... Ben alors, ça me rappelle quelque chose, à moi, qu'on voit en 3e... ;-)

D'une manière générale, si tu ne te retrouves pas avec la forme ax²+bx+c, alors :
- Il n'y a pas de x², ou pas de x ou pas de constante à la fin,
- Dans les 3 cas, soit ton polynôme est factorisable simplement, et s'il ne l'est pas, il n'y a pas de solutio,
- Donc dans les 3 cas, tu n'as pas besoin du discriminant.

J'ai toujours dit qu'un matheux se devait d'être "paresseux"...

@+

Mélissa-m

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Ok merci donc si je comprend bien les solution sont 1 et -1.

yoshi

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

RE,

Oui, bien sûr, ce sont les deux valeurs qui annulent la dérivée, c'est là que situent les extrema de la fonction g (tangentes horizontales).

@+

Mélissa-m

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

ok merci.

Mélissa-m

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonjour, je rencontre à nouveau le même problème qu'avec la question précédente mais cette fois-ci avec une fraction et je ne sais pas du tout comment faire.

Voici la fraction:  [tex]f\left(x\right)=\frac{2{x}^{3}+3}{{x}^{2}-1}[/tex]

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par Mélissa-m (05-12-2010 18:12:35)

yoshi

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonjour,

Pas d'erreur d'énoncé ? Sure ?
Parce que là la dérivée ne s'annule que pour deux valeurs dont je ne sais pas calculer la valeur exacte...
[tex]g'(x)=\frac{(6x^2+3)(x^2-1)-(2x^3+3)(2x)}{(x^2-1)^2}=\frac{6x^4-6x^2+3x^2-3-4x^4-6x}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^4-3x^2-6x-3}{(x^2-1)^2}[/tex]
Désolé...

A moins que tu ne cherches les zéros de [tex]2x^3+3[/tex] auquel cas, pour factoriser il faut utiliser le produit remarquable  [tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex] vu en seconde.
En effet
[tex]2x^3+3=(\sqrt[3]2)^3 x^3+(\sqrt[3]3)^3=(x\sqrt[3]2)^3+(\sqrt[3]3)^3=(x\sqrt[3]2 +\sqrt[3]3)(x^2\sqrt[3]{2^2} - x\sqrt[3]6+\sqrt[3]{3^2})[/tex]

Solutions :
1ere parenthèse : [tex]x=-\sqrt[3]{\frac{3}{2}}[/tex]
2e parenthèse : calcul du discriminant, et les solutions (si elles existent : pas vérifié) auront "une sale tête"...

@+

Mélissa-m

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonjour, la consigne exacte Yoshi est en déduire le sens de variation de f sur ]1;+00[ mais je ne pense pas que cela change quel que chose.

Dernière modification par Mélissa-m (05-12-2010 18:27:16)

yoshi

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonsoir,

Non, ça ne fait pas mon affaire : les racines approchées sont -0.652438 et 1.877182.
Don dérivée négative de 1 à 1.877182, puis positive, donc g décroissante puis croissante...
MAIS, ceci ne vaut pas grand chose, sans les valeurs exactes qui annulent la dérivée et un élève de TS ne sait pas les calculer...

Donc je repose ma question  : pas de faute de frappe dans la fonction telle que l'as donnée ?
Ensuite question supplémentaire, tu écris :

en déduire le sens de variation de f sur ]1;+00[

Qu'est-ce qu'il y a avant le "en", le "en" est mis pour quoi ?
Donne le morceau d'énoncé complet, s'il te plaït. Merci

@+

Mélissa-m

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Bonsoir,

Non, il n'y a pas de faute de frappe sinon voilà l'énoncé complet:

2)Soit f la fonction définie sur ]1;+00[ par f(x)= [tex]\frac{2{x}^{3}+3}{{x}^{2}-1}[/tex]

a)Démontrer que le signe de f'(x) est le même que le digne de g(x) sur ]1;+00[

b)En déduire le sens de variation de f sur ]1;+00[

Merci d'avance.

yoshi

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

Re,

Voilà, maintenant, oui je suis éclairé et ça change tout : ça m'a permis de trouver immédiatement une faute de calcul que tu aurais dû voir si tu avais suivi les calculs fournis.
Je les reprends (c'est d'ailleurs ce que j'avais trouvé ce matin et puis j'ai corrigé et ajouté une erreur : je me bafferais...) :
[tex]f'(x)=\frac{6x^2(x^2-1)-(2x^3+3)(2x)}{(x^2-1)^2}=\frac{6x^4-6x^2-4x^4-6x}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^4-6x^2-6x}{(x^2-1)^2}=\frac{2x(x^3-3x-3)}{(x^2-1)^2}[/tex]

Donc, pour "même signe que g(x)" :
* le dénominateur est hors-jeu puisque toujours positif sur [1 ;+oo[
* 2x est hors-jeu puisque toujours positif sur [1 ;+oo[
Reste donc que le signe de f'(x) sur [1 ; +oo[ est donc celui de [tex]x^3-3x+3[/tex] qui n'est autre que g(x).

Alors, quel est donc le signe de g(x) sur [1 ;+oo[ ?
Depuis hier soir, tu sais que g est croissante sur ]-oo ; -1], décroissante sur [-1 ; +1] puis croissante sur [1 ; + oo[.
Or g(1)=-5 et g croissante et tend vers +oo quand x tend vers +oo...
On en déduit donc qu'à partir d'une certaine valeur de x (valeur approchée donnée par la calculette : 2.103803), g(x) va devenir positif...
Donc f'(x) <0 entre 1 et 2.103803... positive après.
Et f(x) est donc décroissante  sur [1 ; 2.103803..] et croissante sur [2.103803..; +oo[...

Ça te va maintenant ?

@+

Mélissa-m

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Re : Fonction TS et dérivée. [Résolu]

ok merci