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Mélissa-m

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Exercice suites [Résolu]

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour comprendre un exercice car j'ai un dst demain.

EX 7 p185

On considère les 2 suites (Un) et (Vn) définies, pour tout entier n [tex]\geq [/tex] 1, par:

U1= 1 et Un+1= [tex]\frac{Un+2Vn}{3}[/tex]

V1=12 et Vn+1=  [tex]\frac{Un+3Vn}{4}[/tex]

Question:
1)On pose Wn=Vn-Un
Démontrer que (Wn) est géométrique et préciser sa limite.

Wn+1= Vn+1-Un+1

= [tex]\frac{3Un\,+9Vn\,-\,4Un\,-8Vn}{12}[/tex]

= [tex]\frac{Vn-Un}{12}=\frac{Wn}{12}=\frac{1}{12}\times Wn[/tex]

(Wn) est donc une suite géométrique de raison  [tex]\frac{1}{12}[/tex] et de premier terme W1= V1-U1=11

q= [tex]\frac{1}{12}\,[/tex] on a  [tex]-1\leq q\leq 1[/tex] on a donc:  [tex]{\lim }_{n\Rightarrow +oo}Wn=0[/tex]

Mes questions sont :
_comment on passe de Vn+1-Un+1 dans la première étape du développement à Vn - Un à la dernière étape du développement?
_Que représente Wn pour que  [tex]{\lim }_{n\Rightarrow +oo}Wn=0[/tex]

Merci d'avance pour votre aide.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice suites [Résolu]

Bonsoir,

_comment on passe de Vn+1-Un+1 dans la première étape du développement à Vn - Un à la dernière étape du développement?|

Je ne comprends pas ta question, sauf si elle veut dire que les calculs que tu présentes ne sont pas de toi et que tu ne comprends pas ce qui a été fait...
Je vais partir de cette hypothèse en refaisant les calculs :
[tex]W_{n+1}=V_{n+1}-U_{n+1}=\left(\frac{U_n+3V_n}{4}\right)-\left(\frac{U_n+2V_n}{3}\right)[/tex]
Et là on met tout sur le dénominateur commun, ce qui implique de multiplier le dénominateur et le numérateur
* de la première fraction par 3
* de la 2e fraction par 4.
D'où
[tex]W_{n+1}=V_{n+1}-U_{n+1}=\left(\frac{3(U_n+3V_n)}{12}\right)-\left(\frac{4(U_n+2V_n)}{12}\right)=\frac{3U_n+9V_n}{12}-\frac{4U_n+8V_n}{12}[/tex]
Et la suite ne doit plus te poser de problème en principe...

_Que représente Wn pour que [tex] \lim_{n \to +\infty}W_n=0[/tex] ?

Je dirais que ce n'est pas la bonne question...
La bonne question serait : à quoi ça sert de calculer W_n ?
W_n est une suite appelée suite auxiliaire, tu remarqueras que [tex]W_{n+1}=\frac{11}{12^n}[/tex], donc que cette suite est exprimée en fonction de n.
Elle servira à exprimer ensuite U_n et V_n en fonction de n.

Ça te va ?

S'il y a des questions subsidiaires, que quelqu'un prenne la suite : merci d'avance ! J'ai eu une journée chargée et je vais me retirer, je ne pense pas avoir le courage de répondre vers 23 h, par exemple...

@+

Mélissa-m

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Re : Exercice suites [Résolu]

ok merci je viens de comprendre.