Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michael_flux

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Calcul Intégral

Bonsoir à vous, chers condisciples, membres du forum Bibm@th.
Depuis près de 2 semaines, je flanche sur le calcul d'une intégrale qui m'a semblé d'être assez compliqué vues les nombreuses voies que j'ai eues à emprunter pour arriver à un résultat vain.
En fait, il s'agit de cette intégrale: J =  Intégrale allant de 0 à 1 de ( x²lnx / x²-1) dx .
J'ai donc essayer de :
1- penser à décomposer x²/x²-1 en éléments simples, en obtenant 1 + 1/2(x-1) - 1/2(x+1)
  - ensuite multiplier le tout par lnx et obtenir J = Integrales allant de 0 à 1 de respectivement [ lnx + lnx/2(x-1) -
    lnx/2(x+1).
    Mais là, je bloque sur le calcul des primitives de lnx/2(x-1) et lnx/2(x+1)
2- Effectuer les changements de variables successifs x²= u et u = sinx ou cox, mais en vain... sa ne m'a mené nul
    part mes frères.
3- Poser directement x² = sinx ou cox et poser t = tg(x/2) pour transformer directement sinx et cosx en leur expresion respective relativement au changement de variable, mais en vain...

Voici, ainsi exposée ma petite recherche. S'il vous plaît, je sollicite vivement votre aide pour cet exercice car sa me ferait vraiment plaisir de pouvoir enfin mettre un terme à cette intégrale.

Je vous remercie d'avance pour tout. Bonne soirée à vous, que Dieu vous bénisse.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul Intégral

Salut,

Je ne suis pas surpris que tu n'y arrives pas  (t'inquiète pas, j'ai séché aussi...) vu la gueule de la solution générale.
Va voir là :
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? … ndom=false

Même la supercalculatrice (libre et gratuite) à tout faire, WxMaxima, est prise en défaut (et c'est très rare...)

@+

Michael_flux

Membre

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Re : Calcul Intégral

Ok. Merci beaucoup Yoshi pour ton aide. Dieu te bénisse @ +

marin marais

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Re : Calcul Intégral

Bonjour,

Je ne sais pas si ça peut aider... J'me lance...

Alors si on pose [tex]f\left(x\right)=x-\mathrm{tanh}^{-1}\left(x\right)[/tex] (arctangente hyperbolique)
on obtient :
[tex]\frac{x^2}{x^2-1}=f'\left(x\right)[/tex]

Du coup il y a la possibilité d'utiliser l'intégration par parties :
[tex]I=\int_0^1 \frac{x^2\ln x}{x^2-1}\, dx=\int_0^1 f'\left(x\right)\cdot\ln x\, dx=\left[f\left(x\right)\cdot\ln x\right]_0^1-1+\int_0^1\frac{\mathrm{tanh}^{-1}x}{x}\, dx[/tex]

Je suppose qu'en exprimant la fonction d'argument de la tangente hyperbolique sous sa forme logarithmique, il y a moyen de ramener l'intégrale restante vers quelque chose qui ressemble à :
[tex]\int \frac{\ln x}{x}\, dx[/tex]

Bon courage en tout cas...
Thomas.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul Intégral

Bonjour,

Bel effort, marin marais !
Toutefois, si c'était aussi "simple" que ça, je me demande pourquoi Wolfram Integrator ferait appel à la fonction Li2...
Je me suis tuyauté, vaguement parce que le net est pas très clair là-dessus, Li2 est la fonction dilogarithme.
Ainsi [tex]\int\;\frac{\ln(x)}{x-1}\;dx[/tex] ne me semble pas pouvoir s'exprimer avec les fonctions classiques, puisque Wolfram Integrator donne comme résultat [tex]-Li_2(1-x)[/tex]...
Et toujours avec Wolfram on trouve  [tex]\int\;\frac{\ln(x)}{x+1}\;dx\;=\;-Li_2(x)+\ln(x)\times\ln(x+1)[/tex]

Du coup il y a la possibilité d'utiliser l'intégration par parties :

Vi, vi... Sauf que (merci Wolfram)[tex]\int\;\frac{ArcTanh(x)}{x}\,dx\,=\,\frac{Li_2(x)-Li_2(-x)}{2}[/tex]
et retour à la case départ...

Wolfram donne une définition claire par contre de Li2(x)  [tex]Li_2(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\,\frac{x^k}{k^2}\;;\;|x|<1[/tex].

Alors j'interpelle les grosses têtes Fred, freddy, Roro, JJ.. etc... votre avis là-dessus ?

@+

Roro

Membre expert

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Re : Calcul Intégral

Bonjour,

Rien à dire de plus que ce qu'à noté Yoshi !
La primitive recherchée ne peut pas s'exprimer à l'aide de fonctions "usuelles" (en nombre fini)... c'est pourquoi le logiciel fait intervenir une "nouvelle" fonction...

C'est un peu comme si on vous demandait la primitive de 1/x alors que vous ne connaissez pas la fonction logarithme... votre réponse serait de définir une nouvelle fonction (le logarithme) !

Vous pouvez aussi jeter un coup d'oeil à
http://www.math.polytechnique.fr/~chamb … lgebre.pdf (paragraphe 6.7)
Il y a aussi un sujet de concours d'entrée à l'ENS (année ? vers 1994 ?) dont l'objectif était de montrer de tels résultats je crois...

Roro.

Michael_flux

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Re : Calcul Intégral

Merci vraiment à vous les gars, c'est sympa. je vais reprendre ce que vous avez dit pour en comprendre davantage. =)

JJ

Membre

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Re : Calcul Intégral

Bonjour,

il y a quelque chose qui m'échappe complètement dans cette discussion.
Le calcul analytique de cette intégrale me semble pourtant assez simple en passant par la fonction dilogarithme.
D'ailleurs, dès la première réponse (par Modo Ferox) l'affaire était réglée. Il n'y avait plus qu'à prendre en compte les bornes d'intégration pour arriver au résultat :
= (pi²/8)-1
Si je ne me tompe pas ... j'arrive à en douter au vu de tout ce qui a été écrit !

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

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Re : Calcul Intégral

Re,

La suite de la discussion portait sur le fait de savoir si l'intégrale pouvait ou non n s'exprimer avec des fonctions "usuelles" comme l'a pensé marin marais...
Le calcul entre 0 et 1 avait laissé à la discrétion du demandeur.

Donc, non tu n'as pas de raison de douter...

@+

JJ

Membre

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Re : Calcul Intégral

Ha! d'accord !
Bien sûr, si l'on considère la question de l'intégrale indéfinie, il est certain qu'il faut faire appel à une fonction spéciale et la fonction dilog convient bien.
Par contre, telle que la question était formulée par Michael, avec les bornes d'intégration 0 et 1, la réponse est une expression simple, ne comportant pas de fonction spéciale : (pi²/8)-1.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul Intégral

RE,

Par contre, telle que la question était formulée par Michael, avec les bornes d'intégration 0 et 1, la réponse est une expression simple, ne comportant pas de fonction spéciale : (pi²/8)-1.

Arf, j'ai zappé ça ?...
Alors, je suis preneur de ta démo : comment arrives-tu à ce résultat sans passer par Li2 ?

@+

Michael_flux

Membre

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Re : Calcul Intégral

Oui JJ, peux-tu nous en dire plus sur ta démo sans fonction spéciale s'il te plait ?
Merci d'avance.

JJ

Membre

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Re : Calcul Intégral

ce n'est pas la démo qui est "sans fonction spéciale". Au contraire, il a bien été dit qu'elle utilise la fonction dilog.
C'est le résultat qui est "sans fonction spéciale", c'est à dire dans lequel aucune fonction spéciale n'apparait.

Michael_flux

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Re : Calcul Intégral

Ah okay JJ, voilà que c'est bien clair maintenant. Merci

Michael_flux

Membre

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Re : Calcul Intégral

Bonsoir à tous . Fred, jai repris l'exercice et voici ce que je trouve comme resultat.
Tout d'abord, x²lnx/x²-1 = lnx + lnx/2(x-1) - lnx/2(x+1)
donc en prenant les integrales de chaque fonction , on obtient comme primitives respectives :
[xlnx-x] +1/2[-dilog (1-x)] -1/2[dilog (-x) +ln(x+1)lnx]
En prenant les bornes ( c'est-à-dire ) de 0 à 1, on obtient:
pour le premier bloc : O ; pour le deuxième bloc : pi²/12 ; pour le 3e : pi²/24
Et finalement on obtient  Pi²/8.
Qu'en penses-tu?

JJ

Membre

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Re : Calcul Intégral

Salut,

tu écris : "pour le premier bloc : O", ce qui est faux.

Michael_flux

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Re : Calcul Intégral

C'est vrai, javais oublié le 1 ! Merci encore, on trouve alors le pi²/ 8 - 1

JJ

Membre

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Re : Calcul Intégral

On peut aussi arriver au résultat sans passer par une fonction spéciale.
Mais il est bien évident que l'on doit alors passer par un développement en série infinie, puisque l'intégrale indéfinie ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
Par exemple, on peut utiliser :
1/(1-x²) = sigma x^(2n) avec n=0 à infini
L'intégrale de x^(2n+2).ln(x) prise entre 0 et 1 se calcule aisément.
On arrive ainsi à sigma 1/(2n+3)² avec n=0 à infini  qui vaut (pi²/8)-1

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

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Re : Calcul Intégral

Re,

Euh... JJ, désolé, j'ai beaucoup de mal à voir comment on peut démontrer cette égalité :
[tex]\sum_{n=0}^{+\infty}x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}[/tex]...

Ne serait pas plutôt : [tex]\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x^{2n}}=\frac{1}{1-x^2}[/tex] ?

Si non, peux-tu développer s'il te plaît ?

@+

JJ

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Re : Calcul Intégral

(1-x²)(1+x²+(x^4)+(x^6)+...) =
= (1+x²+(x^4)+(x^6)+...) - (x²+(x^4)+(x^6)+...) 
= 1
donc
(1+x²+(x^4)+(x^6)+...)  = 1/(1-x²)
(c'est une classique série géométrique)
Bien évidemment sous condition de convergence 0<=x²<1
Remarque :
L'intégrale en question ayant une borne =1, pour être rigoureux, il faut faire l'étude à la limite x->1
L'aide apportée içi se limite à donner une indication sommaire de la méthode. Selon les règles de bon usage de ce forum, on ne donne pas la réponse complète et détaillée qu'il suffirait de seulement recopier !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Calcul Intégral

Salut,

Merci...
J'avais complètement zappé le petit "tour de passe-passe" auquel tu t'es livré...

Moi, j'étais arrivé à : [tex]\sum_{i=0}^n\big(x^2)^i=\frac{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}[/tex]
Et là, j'avais aussi zappé le fait que 0<=x²<1, et donc que :
[tex]\lim_{n \to +\infty}\frac{1-(x^2)^{n+1}}{1-x^2}=\frac{1}{1-x^2}[/tex]

ok !

Voilà qui me rafraîchit la mémoire...

Au fait :

L'aide apportée ici se limite à donner une indication sommaire de la méthode. Selon les règles de bon usage de ce forum, on ne donne pas la réponse complète et détaillée qu'il suffirait de seulement recopier !

Je pense que ceci n'est pas à mon intention, moi qui ai été la cheville ouvrière de l'élaboration/rédaction des règles de ce fonctionnement de ce forum... ;-)

@+

JJ

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Re : Calcul Intégral

@ yoshi
Bien évidemment, ma remarque s'adressait à Michael, pour attirer son attention sur le fait qu'il ne suffisait pas de recopier le peu que j'avais écrit, mais qu'il devait apporter les justifications nécessaires (et particulièrement en ce qui concerne la limite x tendant vers 1).
Bien cordialement,
JJ.

Michael_flux

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Re : Calcul Intégral

Stp reprend JJ j 'ai pas très bien suivi. Tu pourrais la reprendre avec plus de détail stp ?

JJ

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Re : Calcul Intégral

Michael, tu reprends au message #18 (19-11-2010 08:47:23)
Tout y est. Un petit effort et tu appliques la démarche indiquée.