Forum de mathématiques - Bibm@th.net

enjoy-A

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Devoir maison, sur les barycentres etc.. [Résolu]

Bonsoir tout d'abord je souhaite informer que je débute dans les barycentre, ce qui fait que je n'est pas tout tout compris et donc j'ai besoin d'aide sur un exercice ou je bloque :/
Pouvez-vous m'aidez ? :$
ABC est un triangle, M est le milieu de [AC], K est celui de [MB], et I le point tel que AI=2/3AB
On se propose de demontrer de deux façons différentes que les points C, K et I sont alignés.
1/ A l'aide de calcul vectoriel
a) Montrer que CI=1/3CA+2/3CB
b) Montrer qu CK= 1/4CA + 1/2CB
c) En deduire qu'ils sont alignés.

2/ A l'aide de barycentre
a) Exprimer le point I comme barycentre de A et B
b) En considerant le barycentre de (A;1), (B;2) (C;1) que C, K et I sont alignés.

Aidez-moi s'il vous plait je n'arrive vraiment pas à décoller de la première question, bloquer dans les calculs vectorielles :$

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 403

Re : Devoir maison, sur les barycentres etc.. [Résolu]

Salut à toi enjoy-A,

Bienvenue sur BibM@th..
Tu me vois ravi de ton pseudo qui montre que tu prends plaisir à faire des Maths... ;-)

Égalités vectorielles.
Tu vas devoir user de la relation de Chasles : [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}[/tex], par exemple..

1ere égalité :  [tex]\overrightarrow{CI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}[/tex]
Donc tu dois passer par A et B.
Décompose [tex]\overrightarrow{CI}[/tex] en passant par A, puis dans le résultat obtenu, remplace   [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] par [tex]\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}[/tex], puis [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] en passant par C.
N'oublie de décomposer entre parenthèses...
N'oublie pas que [tex]\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}[/tex]...

2e égalité.
Propriété fondamentale du milieu [tex]\overrightarrow{CK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{CB})[/tex]
Si tu regardes ce qu'on attend de toi, tu vois que tu disposes déjà de [tex]\overrightarrow{CB}[/tex], mais pas de [tex]\overrightarrow{CA}[/tex] : il y a [tex]\overrightarrow{CM}[/tex] à la place, exprime donc [tex]\overrightarrow{CM}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{CA}[/tex](facile puisque M milieu de [CA].

Points alignés.
Il te suffit de trouver un réel k tel que [tex]\overrightarrow{CI}=k.\overrightarrow{CK}[/tex]

Donc un  nombre k unique tel que [tex]\frac{1}{3}=k \times \frac{1}{4};et\;\frac{2}{3}=k \times \frac{1}{2}[/tex]...

Barycentres.
Un ch'ti coup de pouce...

* [tex]1\overrightarrow{IA}+ 2\overrightarrow{IB}=\vec 0[/tex] donc I = Bar{(A ; ?),(B , ?)}

* Mais qui est donc Bar{(A;1),(B;2),(C;1)} ?
   Bar{(A;1),(B;2),(C;1)}=Bar{(B;2},(A;1),(C;1)} et demande-toi quel est le barycentre de (A;1),(C;1).
   "Astuce" classique : le barycentre de 3 points, s'obtient en prenant le barycentre de 2 d'entre eux, puis le barycentre de ce barycentre intermédiaire et du point restant.
   Je ne te suggère rien d'autre ci-dessus

@+

Où est-il ? que fait-il ? Perdu corps et biens, noyé dans la "mer des barycentre" ? Dame, c'est qu'elle est pire que la "mer des Sargasses" pourtant déjà de mauvaise réputation...

Bien... Alors sujet fermé : je m'en souviendrai si jamais un jour tu repointes le bout de ton nez...

Dernière modification par yoshi (16-11-2010 21:05:09)