Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kirthy

Membre

Inscription : 29-10-2010

Messages : 3

Suite logisitique

Bonjour à tous et à toutes ^^

Il m'est demandé de traiter un exercice qui concerne une suite logistique.

On a donc [tex]u_{n+1} = f(u_n)[/tex] avec [tex]f(x) = kx(1-x)[/tex] et [tex]k \in ]0 ; 4][/tex]

Le gros problème se pose lorsque l'on me demande de trouver les valeurs possibles de la limite lorsque celle-ci est supposée convergente.

On pourrait simplement balancer le théorème du point fixe et hop... mais si on peut faire mieux, je préfère.

Sauf qu'au final, c'est l'horreur X.X

Si  [tex]k \in ]0 ; 1][/tex], c'est vite trouvé, [tex]u_{n+1} \le ku_n[/tex] donc la suite converge vers 0.

Le problème se pose après. Si [tex]k > 1[/tex], la suite ne peut plus converger vers 0 mais vers l'autre point fixe, [tex]\frac{k-1}{k}[/tex] . Or, la suite ne converge plus pour [tex]k > 3[/tex], et je n'arrive pas à le prouver.

=> Je pourrais démontrer le théorème qui montre que si [tex]|f'(x)| > 1[/tex], alors la suite ne converge pas, mais je n'ai aucune idée de la manière dont je dois procéder pour la démonstration. En utilisant les points fixes attractifs et répulsifs, mais de la même manière je dois démontrer qu'ils existent.

Si vous voulez plus d'informations sur f ou u, j'ai tout ce qu'il faut (j'ai retourné le problème dans tous les sens ^^).

Voilà, si vous pouviez m'aider un peu... =)

Merci d'avance.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Suite logisitique

Salut à toi tout seul !

va voir là, tu seras édifiée : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_logistique

A plus.

Dernière modification par freddy (29-10-2010 19:24:23)

Kirthy

Membre

Inscription : 29-10-2010

Messages : 3

Re : Suite logisitique

(Je serais plutôt édifié pour le coup =P)

J'ai déjà regardé cette page ^^ Mais j'avoue que je ne la comprends pas très bien... =/

Déjà, pourquoi ce changement de variable ? [tex]x_n = u_n + 1 - \frac{1}{\mu}[/tex]

Et ensuite, pourquoi dans cette équation :

[tex]{{u_{n+1}+ 1 - 1/\mu}\over {u_n+ 1 - 1/\mu}} = 1-\mu u_n[/tex]

"la condition de convergence exige que le second membre soit compris entre -1 et + 1" ?

Si j'arrive à expliquer cela, c'est sûr que ce sera terminé ^^'

Merci d'avance.

Kirthy

Membre

Inscription : 29-10-2010

Messages : 3

Re : Suite logisitique

(Désolé pour le double-post ^^')

Finalement, vous avez bien fait de me renvoyer sur cette page, merci ! x)
J'ai cherché longtemps et j'ai finalement trouvé les réponses à mes deux précédentes question.

Le seul problème est que je n'arrive à pas à passer du fait que [tex]-1 \le 1 - \mu u_n \le 1[/tex] à [tex]1 \le \mu \le 3[/tex]

Je pense que c'est tout simple mais je ne vois pas comment faire ^^

Merci d'avance,
Kirthy.