DM dérivé élasticité... [Résolu]

nana70 · 24-10-2010 21:02:25

Bonjour!! Voila, j'ai un dm de maths à faire pour la rentrée mais je bloque à beaucoup de questions... Si quelqu'un pourrait m'aider, merci d'avance.

Info : On note p le prix d'un produit en euros et f(p) la demande liée à ce produit pour le prix p.
L'élasticité E(p) de la demande par rapport au prix p est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 14% de p
f(p)= (10^5*p)/(p²-100) sur [11 ; + infini [
1°) Calculer la demande pour p=11, p=15 et p=90
quand p=11, f(p) = 52.380,95 ; quand p=15, f(p)= 12000 ; quand p=90, f(p)= 1125
2a) Vérifier que f(p) strictement supérieur à 0 pour tout p supérieur ou égal à 11
b) Montrer que f est décroissante sur [11 ; + infini [
3) On suppose que le prix p, initialement égal à 15€, subit une augmentation de 1%
a) Calculer le nouveau prix p1 ainsi que la demande correspondant à ce nouveau prix.
nouveau prix = 15 * 1.01 = 15.15 f(15.15) = 11696,80
b) En déduire E(p), l'élasticité de la demande par rapport au prix de 15€

Partie B
E(p)= p * [ f ' (p) / f (p) ]
1a) Quel est le signe de E(p) pour p supérieure ou égale à 11?
b) Établir que E(p) = 1 - (2p²/p²-100)
2a) Calculer la limite de E(p)en + infini ==> je sais faire
b) Calculer la dérivée de E(p) et en déduire son tableau de variation
c) Calculer la valeur px pour laquelle l'élasticité est de - 1.25
d) Comment évolue la demande quand le prix passe de 30€ à 30,30€

Je sais que c'est un peu long et que ma contribution n'est pas très importante mais c'est parce que je rame beaucoup avec ce dm...

c'est pour celui la que j'ai plus de mal exo2;
On considère la courbe donnée ci-dessous, représentative d'une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle I=]0;10]

Les droites tracées sur le graphique sont les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 1 et 4.

1) Utiliser le graphique pour donner les valeurs de g(1) et g'(1).

2) Résoudre graphiquement dans l'intervalle I les 3 inéquations ci dessous (valeurs lues seront données à 10-1 près).

a.g(x)>ou egal 0 b. g'(x)>ou egal0 c. g(x)< x

3) On admet que, pour tout x de l'intervalle I, g(x)=a+bx(3-x) où a et b sont deux nombres réels. On veux calculer a et b.

a. Montrer que pour tout x de I :

g'(x)=b(3-(3/2)racine de x)

=) Détailler les calculs.

b. A l'aide des valeurs de g(1) et g'(1) obtenues à la Q1, calculer a et b

Dernière modification par nana70 (24-10-2010 21:56:41)

yoshi · 25-10-2010 09:48:21

Bonjour nana70,

Bienvenue sur BibM@th...
Boufre !... Rien que ça ?
C'est tout ce que t'a fait ? Alors, je vais t'aider à mettre le moteur en route, et tu reviens avec tes résultats. Ok ?
Partie A
1. Oui.
2. a) Signe de f(p) sur [11 ; +oo[.
Sur [11 ; +oo[, signe de p : +°.
Donc f(p) est du signe de p²-100 =(p+10)(p-10).
Un polynôme du 2nd degré ax²+bx+c qui admet 2 racines distinctes est du signe de -a entre les racines, de a à l'extérieur...
Alors ?...
b) f(p) décroissante sur [11 ; +oo[
Calcule la dérivée de f(p) et montre qu'elle est négative sur [11 ; + oo[
3. a) Quitte à arrondir le résultat, alors arrondis-le correctement, même si ça ne changera pas grand chose...
[tex]f(15.15)\approx 11696.809...[/tex] soit 11696.81.
b) Bizarre le 14%... Je ne comprends pas bien...
Freddy, toi le financier du groupe, peux-tu te pencher là dessus s'il te plaît ? La phrase :

L'élasticité E(p) de la demande par rapport au prix p est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 14% de p

me laisse perplexe...
On va faire sans, en attendant...
f(15)=12000
f(15.15)=11.696.81
Il y a eu une baisse de la demande... De combien ?
Quel est le pourcentage de cette baisse ? (baisse x 100)/valeur initiale

Partie B
E(p)= p * [ f ' (p) / f (p) ]
1a) Quel est le signe de E(p) pour p supérieure ou égale à 11?
Quelle est l(expression de E(p) que tu as calculée ? Si ton f'(p) est faux, E(p) sera faux aussi.
Tu dois arriver à [tex]\frac{-p^2-100}{p^2-100}[/tex]
b) Établir que E(p) = 1 - (2p²/p²-100)
2 méthodes possibles :
* Tu pars de [tex] 1 - \frac{2p^2}{p^2-100}[/tex], tu mets tout sur le même dénominateur, puis tout sur la même fraction et tu réduis,
* Tu remarques que [tex]\frac{-p^2-100}{p^2-100}=\frac{(p^2-100)-2p^2}{p^2-100}[/tex] et tu décompose ta fraction comme une différence de 2 fractions...

2a) Calculer la limite de E(p) en + infini ==> je sais faire
OK ! Alors quelle est cette limite ?
b) Calculer la dérivée de E(p) et en déduire son tableau de variation
Pour calculer la dérivée, il est plus "confortable" de partir de [tex]E(p)=1-\frac{2p^2}{p^2-100}[/tex]
Donc tu trouves quoi pour E'(p) ?
Signe de E'(p) sur [11 ; +oo[ et pourquoi ?
c) Calculer la valeur px pour laquelle l'élasticité est de - 1.25...
Qu'est-ce que c'est px ? Ça ne figure nulle dans ton énoncé avant...
Si px c'est p, alors sous réserve du rôle de ces 14% qui m'est inconnu, alors je résous :
E(p)=-1,25, soit [tex]-2,25 = -\frac{2p^2}{p^2-100}[/tex] soit encore [tex]2,25=\frac{2p^2}{p^2-100}[/tex]
d) Comment évolue la demande quand le prix passe de 30€ à 30,30€
p(30) = ? ; p(30,30)= ? etc...

On va déjà voir ça...

@+

PS : Exo 2 :sans le graphique, ce sera dur de t'aider...
Donc :
1. Tu fais une image de ton graphique, via un scanner, tu limites l'image à 800 pixels de long maximum
2. Tu la déposes sur imageshack.us, photobucket, hiboox, casimages... où tu veux et tu récupères l'adresse de ton image qui doit figurer entre les balises

[img]adresse_image[/img]

De plus, revois ton énoncé pour le 3. s'il te plaît...
En effet avec [tex]g(x)=a+bx(3-x)[/tex] on ne peut pas trouver [tex]g'(x)=b(3-{3\over 2}\sqrt x)[/tex] : il manque alors une racine dans l'expression de g(x)... N'est-ce pas plutôt [tex]g(x)=a+bx(3-\sqrt x)[/tex] ?

Dernière modification par yoshi (25-10-2010 10:39:26)

freddy · 25-10-2010 17:33:31

nana70 a écrit :

Bonjour!! Voila, j'ai un dm de maths à faire pour la rentrée mais je bloque à beaucoup de questions... Si quelqu'un pourrait m'aider, merci d'avance.
Info : On note p le prix d'un produit en euros et f(p) la demande liée à ce produit pour le prix p.
L'élasticité E(p) de la demande par rapport au prix p est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 14% de p

Non, l'élasticité se calcule pour une variation de prix de 1 %,, voire de 0,1 %, mais pas 14 % : cela n'a aucun sens.

par définition, on a :

[tex]E_{D/p}=\frac{\Delta D}{D}/\frac{\Delta p}{p} \equiv f'(p)\times \frac{p}{D}[/tex] quand on a une fonction continue et dérivable.

nana70 a écrit :

f(p)= (10^5*p)/(p²-100) sur [11 ; + infini [
1°) Calculer la demande pour p=11, p=15 et p=90
quand p=11, f(p) = 52.380,95 ; quand p=15, f(p)= 12000 ; quand p=90, f(p)= 1125
2a) Vérifier que f(p) strictement supérieur à 0 pour tout p supérieur ou égal à 11
b) Montrer que f est décroissante sur [11 ; + infini [

Avec 3 valeurs de p, tu viens de montrer que la demande est bien une fonction décroisssante du prix (logique économique d'un bien normal ; un bien économique supérieur voit sa demande croître quand le prix augmente - phénomène d'appartenance à une classe très supérieure et éviction des moins riches par les prix - et un bien est dit inférieur quand sa demande décroit avec son prix - pex le topinambour ...)

Il te reste à étudier le signe de sa dérivée première, comme le fait yoshi.

Bon courage.

nana70 · 26-10-2010 13:07:22

sinon je vous met tous les resutat pour exo 1 que j'ai trouvé demain soir mperci beaucoup de votre aide

nana70 · 26-10-2010 13:12:16

oups pardon non c'est de 1 pourcent

yoshi · 26-10-2010 13:37:26

Re,

Bin, j'ai suivi le lien que tu nous a donné...
J'y ai vu une chouette nana, mais de graphique point !...
Essaie d'y penser, s'pas...

@+

freddy · 26-10-2010 13:41:04

Ami yoshi,

si tu pouvais, dans les règles de la netétiquette, ajouter à l'attention de nos amis que la rigueur (comme la logique) est l"hygiène de la pensée ...

Si nos amis voulaient bien faire le minimum minimorum d'effort pour exposer correctement leurs problèmes, ils verraient d'eux mêmes que bien souvent, ils pêchent pas manque d'attention uniquement.

Et ça vaut autant pour le secondaire que pour le supérieur (cf. le problème de l'estimateur du maximum de vraisemblance ... on nous dit : ok oui, ce n'est pas 6, mais 4 semaines, mais ce n'est pas important ...)

freddy

freddy · 26-10-2010 13:42:51

yoshi a écrit :

Re,
Bin, j'ai suivi le lien que tu nous a donné...
J'y ai vu une chouette nana, mais de graphique point !...
Essaie d'y penser, s'pas...
@+

Mince, pas vu ...

je comprends mieux, le problème d'élasticité doit correspondre à autre chose que celle de la demande au prix ...

c'était la minute privée du site bimbo !!!

nana70 · 26-10-2010 13:43:53

http://img638.imageshack.us/i/dm1d.jpg/

nana70 · 26-10-2010 13:45:23

ok je reflechi stap et je me reco se soir =) merci!

yoshi · 26-10-2010 15:27:23

RE,

Ok !
Voilà qui devrait être plus clair :

En vert, la droite d'équation y=x.

@+

nana70 · 26-10-2010 15:32:59

je n'ai pas compris comm"ent faire la 2a mais j'ai dit:si p>11 alors 10^5p>0 et p^2>0 alors lme numérateur et denominateurs st strictement positif pour p>0
dc f(q)>0 pr p>11
2/b/pour la dérivé j'ai 10^5/2p mais a mon avis c'est faux =(

3/a/*15*1.01=15.15
f(15.15)=11696.81
3/b/j'ai su faire que va-vd/vd=11696.81-12000/*12000=-0.025 soit -2.5pourcent

partie b
1/a/j'ai dit ; on sait que p>11>0
mais vu que ja sais pas le signe de f' ...............
b/la je blok =(

2/b/j'ai 4p/2p a mon avis c'est faux
c/c'est pout p0 qu'il faut faire
d/je ny comprend rien

yoshi · 26-10-2010 16:31:16

B'soir,

2.a) Tu écris

je n'ai pas compris comment faire la 2a mais j'ai dit:si p>11 alors 10^5p>0 et p^2>0 alors le numérateur et dénominateurs st strictement positif pour p>0

Relis ce que j'ai écrit... Je n'ai pas parlé du signe de p² mais de celui de p²-100.
Si tu ne connais pas la règle que j'ai citée (tu devrais !), tu peux penser que p²-100 = ((p+10)(p-10) et en déduire le signe avec un tableau pour p>11.
Sinon, mais c'est moins usité dans ce type d'exercices, tu sais que p>11 donc p²>121, tu ajoutes -100 aux 2 membres : p²+(-100)>121+(-100), spot p²-100>21 et 21 >0 donc p²-100>0 pour p>11...

2.b) Oui, c'est faux ! Aucune méthode...
M'enfin ! [tex]f(p)=\frac{10^5p}{p^2-100}[/tex] est du type [tex]10^5\times \frac{U}{V}[/tex] dont la dérivée est : [tex]10^5\times \frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]
Donc en posant :
* U = p on a U' = .. ? ..
* V = p²-100 on a V' = .. ? ..
et
[tex]10^5\times \frac{U}{V}=10^5\times \frac{? \times ? - ? \times ? }{(?)^2}[/tex]
Après quoi tu réduis le numérateur...
Maintenant tâche de montrer que f'(p) < 0 entre 11 et +oo
3. a) déjà vu.
b) L'énoncé dit :

L'élasticité E(p) de la demande par rapport au prix p est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1% de p

Alors, ce pourcentage de variation, tu l'as ou tu ne l'as pas ?

Partie B
Tant que f'(p) n'est pas juste, ça ne sert à rien d'aller plus loin.

Reviens avec tes calculs corrigés pour la partie A

@+

nana70 · 26-10-2010 16:42:32

dc u'=1 et v'=2p?

yoshi · 26-10-2010 19:40:04

Salut,

Oui...
Et maintenant calcule donc : [tex]10^5\times \frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]

Et arrête un peu avec les abréviations, ça ne te fait rien gagner et agace ceux qui te lisent : réserve plutôt ça pour le Chat ou les SMS...

@+

nana70 · 26-10-2010 20:12:05

vraiment désolé

yoshi · 26-10-2010 20:27:33

Re,

Et la dérivée ? T'en es où ?

@+

yoshi · 27-10-2010 19:40:19

Coucou nana70,

On ne te lit plus ?
Il pleut dans nos cœurs, comme il pleut sur la ville...
Un seul être vous manque et tout est dépeuplé disait Lamartine...
Avant que tout devienne désertique, dis-nous ce que tu as trouvé comme dérivée... enfin, montre tes calculs, parce que si tu lis bien ma première réponse, tu constateras que je te l'ai donnée...

Et puis là, on arrive en fin de semaine et il y a encore pas mal de pain sur la planche pour finir ton DM...

@+

nana70 · 28-10-2010 20:15:33

coucou =)
j'ai vraiment du mal a la calculer mais j'ai pur le moment 10^5*(-100-p^2)/(p^2-100)^2

yoshi · 28-10-2010 20:25:19

Ah ! Te rev'la : Bonsoir...

Oui, c'est juste !
Maintenant ma relire ma réponse à ton post initial, tu y trouveras ce qu'il faut pour continuer : c'est juste du calcul "bête et (même pas) méchant" !
Rien de sorcier, juste de la routine calculatoire... ;-)

@+

nana70 · 28-10-2010 20:35:32

je m'embrouille la =(

yoshi · 28-10-2010 20:49:01

RE,

Bah !... Bah !...
Relis et relis encore en pesant chaque mot, tu finiras par comprendre...

@+

yoshi · 29-10-2010 11:49:43

Bon,

Alors qu'est-ce qui coince ? Qu'est-ce qui t'embête à ce point ?
Je t'ai écrit

Calcule la dérivée de f(p) et montre qu'elle est négative sur [11 ; + oo[

Cette dérivée tu l'as maintenant : [tex]f'(p)=10^5 \times \frac{-p^2-100}{(p^2-100)^2}=10^5 \times\frac{-(p^2+100)}{(p^2-100)^2}[/tex]
Quel est le signe de p²+100 ?
Quel est le signe de (p²-100)² ?
Et après, bin il y a le - qui interviendra...

Après, partie B
Ce qui peut te gêner, c'est E'(p)...*
Mais il faut avoir l'expression correcte de E(p) en fonction de p...
Tu vas d'abord commencer par écrire f'(p)/f(p) :
[tex]\frac{f'(p)}{f(p)}=\frac{10^5 \times \dfrac{(-p^2-100)}{(p^2-100)^2}}{10^5\times \dfrac{p}{p^2-100}}[/tex]
Tu peux déjà commencer par simplifier par [tex]10^5[/tex]...
Ensuite tu dois diviser une fraction par une fraction..
Rappel de la règle :
[tex]\frac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}[/tex]
Alors tu le fais et tu constates une simplification par p²-100 que tu fais aussi...
Après pour obtenir E(p) il faut multiplier la fraction que tu viens d'obtenir par p et tu constates une nouvelle simplification par p, que tu fais aussi...
Et tu aboutis à la formule cherchée..

Pur la question suivante reporte-toi à l'indication que je t'ai donnée dans ma toute première réponse : rien d'affolant, hein !
Après, on voit...
Mais secoue-toi un peu, tu n'es pas bien présente, ni ne semble motivée pour finir ce DM... ?

@+

RKOSeb · 29-10-2010 16:09:38

Salut j'ai le meme dm à faire et grace à votre aide je suis parvenu jusqu'à la question 2.c)
Calculer la valeur p0 pour laquelle l'élasticité est -1.25 (% je suppose car ce n'est pas précisé)
Là je suis bloqué, il faut résoudre l'équation (-p²-100)/(p²-100)=1.25 me semble t-il ?
le problème si c'est juste c'est que je n'y arrive pas.

yoshi · 29-10-2010 17:01:37

Salut RKOSeb,

Bienvenue sur BibM@th...
Bon, je pense que oui, mais j'utiliserais plutôt la 2e forme : [tex]E(p)=1-\frac{2p^2}{p^2-100^2}[/tex], il y a moins de calculs à faire...:-)

D'où : [tex]1-\frac{2p^2}{p^2-100^2}=-1,25\;\Leftrightarrow\;-\frac{2p^2}{p^2-100}=-2,25\;\Leftrightarrow\;\frac{2p^2}{p^2-100}=2,25[/tex]
Là, on multiplie les deux membres par p²-100:
[tex]2p^2=2,25(p^2-100)[/tex]

Après, c'est facile, non ?

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 24-10-2010 21:02:25

DM dérivé élasticité... [Résolu]

#2 25-10-2010 09:48:21

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#3 25-10-2010 17:33:31

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#4 26-10-2010 13:07:22

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#5 26-10-2010 13:12:16

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#6 26-10-2010 13:37:26

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#7 26-10-2010 13:41:04

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#8 26-10-2010 13:42:51

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#9 26-10-2010 13:43:53

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#10 26-10-2010 13:45:23

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#11 26-10-2010 15:27:23

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#12 26-10-2010 15:32:59

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#13 26-10-2010 16:31:16

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#14 26-10-2010 16:42:32

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#15 26-10-2010 19:40:04

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#16 26-10-2010 20:12:05

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#17 26-10-2010 20:27:33

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#18 27-10-2010 19:40:19

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#19 28-10-2010 20:15:33

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#20 28-10-2010 20:25:19

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#21 28-10-2010 20:35:32

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#22 28-10-2010 20:49:01

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#23 29-10-2010 11:49:43

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#24 29-10-2010 16:09:38

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

#25 29-10-2010 17:01:37

Re : DM dérivé élasticité... [Résolu]

Pied de page des forums