TS : Unicité et encadrement de solution [Résolu]

cazio · 10-10-2010 19:26:07

Bonjour à tous, voilà j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour ce dm qui comporte 3 exercices. Je mets d'abord l'exercice A, je mettrais le B et le C par la suite.

Exercice A:

a) Soit la fonction f définie par:
f(x)= [tex]{x}^{5}+\,3{x}^{3}+\,7{x}^{2}+\,2x\,+7[/tex]

En utilisant une calculatrice graphique, en donner une représentation graphique sur l'intervalle [tex]\left[-10;10\right][/tex] .
Etudiez les limites en + l'infini et en -l'infini. Quelle conjecture peut on faire sur le nombre des solutions de l'équation f(x) =0.

b)Montrer que cette équation a une solution comprise entre -2 et -1. En donner un encadrement à 0.001 près.

c) Démontrer que f(x) peut s'écrire sous la forme: [tex]\left({x}^{2}+1\right)\left({x}^{3\,}+2x\,+\,7\right)[/tex]

Démontrer alors que l'équation proposée a une unique solution dans R.

Ce que est j'ai réussi à faire, c'est tracer la courbe avec la calculatrice sinon pour tous le reste je n'y arrive pas. Merci d'avance pour vos explications.

freddy · 10-10-2010 20:29:13

Salut,

tu devrais voir graphiquement que [tex]f(-2)\times f(-1) < 0[/tex].

Partant, et par le théorème des valeurs intermédiaires, tu sais que f doit avoir un zéro dans cet intervalle.

Ensuite, la question c) demande que tu vérifies, alors fais la vérification ...

Tu reviens en indiquant où tu en es et on continue de t'aider le cas échéant.

Bon courage.

yoshi · 10-10-2010 20:38:57

Bonsoir,

Bienvenue sur BibM@th...

Je commence, mais ne terminerai pas ce soir...

Bon, J'ai tracé ta courbe entre -10 et + 10...
a) Sur [-10 ; + 10] je vois qu'elle est croissante, décroissante, croissante et une solution à f(x) = 0 entre -1 et -2...
Je ne vois une seule racine (intersection avec l'axe des x sur [-10 ; +10]...
Bon, mais qu'est-ce qui se passe sur ]-oo ; -10] et [10 ; +oo[ ?
On en est réduit aux suppositions puisqu'on ne voit pas...
De toutes façons, voir n'est jamais admis comme preuve....

D'où le recours aux limites pour se faire une idée...
La limite en +oo ou -oo d'un polynôme tel que celui-ci est la limite du terme due plus haut degré :
Quand x--> -oo, x^5 --> ?
Quand x--> +oo, x^5 --> ?

Entre -oo et -10, on a f continue, strictement croissante, f(-10)<0 (le calcul de f(-10) donne f(-10)<0) et f(x) -->..?.. quand x --> -oo, donc question :
Existe-t-il c dans ]-oo ; -10] tel que f(c) = 0 ?

Entre 10 et+oo, on a f continue, strictement croissante, f(10)>0 (le calcul de f(10) donne f(10)>0) et f(x) -->..?.. quand x --> +oo, donc même question :
Existe-t-il c dans [10 ; +oo[ tel que f(c) = 0 ?

Et tu maintenant, tu fais le bilan : combien de racines ?
Mais ça ne reste qu'une conjoncture parce que réponse basée en partie sur l'xploitation visuelle de la courbe, pas une démonstration.

b)
Tu calcules f(-2) ---> f(-2)<0
Tu calcules f(-1) ---> f(-1)>0
Encore une fois le théorème des valeurs intermédiaires permet de répondre...

Encadrement...
Je teste -1.5 ---> f(-1.5) >0...
Donc je teste -1.7 --> f(-1.7) <0
Donc je teste -1.6 --> f(-1.6) >0
Donc, j'ai déjà encadré à 0.1 près...

On reprend avec x = -1.55 ---> f(-1.55)>0 donc x est entre -1.55 et -1.60, on va tester -1.56 --> f(-1.56) >0 (pas de beaucoup)...
On essaie f(-1.57)--> <0 donc x entre -1.56 et -1.57...
Et on poursuit avec une décimale de plus...

c)
Ça, c'est simple :

[tex]\left({x}^{2}+1\right)\left({x}^{3\,}+2x\,+\,7\right)[/tex]

Il te suffit de développer réduire et ordonner ce produit et tu obtiens l'expression de la fonction polynôme de départ...

x²+1=0 n'ayant pas de solution dans [tex]\mathbb{R}[/tex], on est donc ramené à devoir résoudre :
[tex]x^3+2x+7=0[/tex]

Je voudrais factoriser ça sous la forme du produit d'un binôme du 1er degré et d'un trinôme du 2nd degré, lui dans solution réelle... je ne sais pas si je vais pouvoir.

Sinon je dérive g(x)=x^3+2x+7 ---> g'(x)=3x²+2 strictement positif quel que soit x...
g(x) est donc strictement croissante sur ]-oo ; +oo[
Quand x --> -oo, g(x) --> -oo
Quand x --> +oo, g(x) --> +oo
Encore le T.V.I...
Donc il y a une solution et une seule...

@+
[EDIT] Salut freddy, j'ai pris trop de temps, tu m'as devancé... ;-)

[EDIT2]
On peut remballer la facto... J'ai essayé avec un logiciel de calcul spécialisé : c'est l'horreur intégrale ! Impossible à la main en TS !

Dernière modification par yoshi (10-10-2010 20:45:52)

freddy · 10-10-2010 21:41:59

Salut yoshi,

j'attendais que tu répondes (je savais que tu le ferais), mais après avoir répondu à la question sur la loi de Weibull, et que tu semblais absent, j'ai enchaîné sur celle là, pour le fun, quoique de manière un peu expéditive ...

Bb

yoshi · 11-10-2010 10:16:07

Re,

Oui, j'en ai même trop dit sur un tel sujet, je m'en vais édulcorer un peu ma réponse : c'est un DM après tout, notre ami a donc le temps de la réflexion.
Je suis un grand bavard...

@+

cazio · 11-10-2010 20:13:05

Bonsoir,

a)J'ai calculer les limites en + et - l'infini mais je ne comprend pas ce qu'il faut faire ensuite . C'est la première fois que je vois la notion de conjecture.

b)C'est ok.

c)j'ai développé mais ensuite je n'y arrive pas. Par ailleurs, je ne savais pas qu'on pouvait utiliser la dérivé pour obtenir un solution.

Merci d'avance.

yoshi · 11-10-2010 20:45:53

Re,

Conjecturer le nombre de solutions, c'est avoir une idée assez précise et claire, mais sans preuves, du nombre de solutions, rien de bien sorcier...

Les limites en -oo et +oo sont... -oo et +oo

A quoi sert le TVI ? C'est lui qui te permet de dire que f(-10) étant négatif f(a) étant positif, et la fonction f continue et strictement croissante, il existe une solution entre -10 et a telle que f(x)=0...

A contrario f(x) est négatif en -oo, négatif en -10, et la fonction f toujours continue et strictement croissante, il n'existe pas de x entre -oo et -10 tell que f(x) = 0 : il faudrait pour cela que la courbe en partant de -oo, repasse au dessus de l'axe des x puis redescende jusqu'à f(-10), ce qui donnerait une fonction croissante puis décroissante.
Or ce n'est pas le cas : elle est strictement croissante.

c) Tu as développé, réduis et ordonné et tu dis que tu n'y arrives pas ? Tu plaisantes ?
[tex](x^2+1)(x^3+2x+7)= x^5+2x^3+7x^2+x^3+2x+7=x^5+3x^3+7x^2+2x+7[/tex], non ?
T'as pas l'impression que tu viens de trouver là, la formulation de la fonction f donnée au début de l'énoncé ? Si ?
Alors, c'est fini, rien d'autre à faire, tu viens de montrer que [tex](x^2+1)(x^3+2x+7)=f(x)[/tex]...

La dérivée, ce n'est pas nouveau, ne permet pas de trouver les racines, non, mais les extrema (mini/maxi), mais aussi le sens de variation d'une fonction...

[tex]g(x)=x^3+2x+7[/tex]
Ici, on tombe sur g'(x) > 0 quel que soit x...
Donc ta fonction est strictement croissante entre -oo et +oo...
Je calcule les limites en -oo et +oo...
Puis, encore une fois, j'applique le théorème des valeurs intermédiaires en disant que :
g(x) <0 en -oo, g(x) >0 en +oo, g continue et strictement croissante, il existe une valeur x et une seule entre -oo et +oo telle que g(x) = 0.

Et puisque f(x) =(x²+1) * g(x), que (x²+1)=0 n'a pas de solution dans R, que g(x)=0 n'a qu'une seule solution, alors f(x)=0 n'a bien qu'une seule solution dans R...

C'est clair ?

@+

cazio · 11-10-2010 21:37:55

Re,

Non c'est pas le développement que je n'arrive mais c'est à partir de la dérivée. Excusez moi si je me suis mal exprimé.

yoshi · 11-10-2010 21:45:02

Re,

ok !
La dérivée, relis, je me suis expliqué.
Je rappelle :
* Les valeurs qui annulent la dérivée sont les abscisses des minimum/maximum éventuels...
* Lorsque le signe de la dérivée est +, la fct est croissante.
* Lorsque le signe de la dérivée est -, la fct est décroissante.
* La valeur de la dérivée pour x = a, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x = a.

@+

cazio · 12-10-2010 18:30:43

Merci, j'ai compris.

Exercice B:

Pour chacune des affirmations ci dessous, précisez si elle est vraie ou fausse. Si c'est vrai, citez le théorème utilisé, sinon, donner un contre exemple.

1.Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur ]a;+oo[, alors [tex]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\,-\infty[/tex]

2.Soit f et g deux fonctions définies sur [0; +oo[, g ne s'annulant pas.
Si [tex]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\,-\infty[/tex] et si [tex]\lim_{x\to +\,oo}g\left(x\right)=\,+\infty[/tex] alors [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\,-1[/tex]

3.Si f est une fonction définie sur [0; +oo[ telle que [tex]0\leq f\left(x\right)\leq \sqrt{x}[/tex] sur [0;+oo[ alors [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\,0[/tex]

Pour le 1) j'ai trouvé faux avec comme exemple [tex]\frac{1}{x}[/tex] sinon pour le 2 et 3 je n'y arrive vraiment pas.

Merci d'avance pour votre aide.

yoshi · 12-10-2010 20:25:44

Re,

1. C'est juste
2. Réponse : F. Regarde du côté des fonctions homographiques ou des fonctions représentées par des "fractions rationnelles"
3. Réponse : V. J'ignore si tu connais ce nom-là : théorème des gendarmes. Voir Bibm@th ou http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _gendarmes. Il va falloir que je vérifie si on apprend ça en Term...
Mais regarde du côté de la division par x des 3 membres de ton inégalité :
[tex]{0\over x}\leq {f(x)\over x}\leq {\sqrt x \over x}[/tex] et regarde la limite quand x --> +oo de chacun des gendarmes qui encadrent f(x)/x...
Bien penser que [tex]{\sqrt x \over x}={1 \over \sqrt x}[/tex] sinon tu vas te retrouver avec une forme indéterminée...
D'autre part pour la limite en +oo, même si l'intervalle de définition est [0 ; +oo[ au lieu de ]0 ; +oo[, puisque x tend vers l'infini, par définition, il est différent de 0 et l'écriture des fractions ci-dessus a un sens...

Si pas de gendarmes en TS, alors on peut ruser comme ça :
f(x) >=0 et x >=0 alors quand x --> +oo on a f(x)/x >= 0

Et comme [tex]f(x) \leq \sqrt x[/tex] alors [tex]0\leq {f(x) \over x} \leq {\sqrt x \over x}[/tex]
Après tu passes aux limites et là tu vois que la limite de f(x)/x est "coincée" entre 0 et 0 ! Donc...

@+

thadrien · 12-10-2010 22:21:44

Salut,

Je crois que la 1. est fausse. Contre-exemple : la fonction exp(-x). Elle est strictement décroissante sur R tout entier, pourtant, elle ne tend pas vers -infini quand x tend vers -infini.

yoshi · 13-10-2010 06:57:30

Re,

Quand j'ai dit : c'est juste, je faisais allusion à la réponse de cazio...
Je n'ai pas écrit : 1. Réponse : V.
C'est volontairement que j'ai changé le type de mes réponses entre d'une part
* la 1. ou cazio a proposé une réponse et je lui ai dit ce que je pensais de sa réponse (et donc que j'étais d'accord avec son contre-exemple).
* Et la 2. et la 3. où là, il n'avait pas de réponse et où j'ai donné mes réponses aux questions posées

@+

thadrien · 13-10-2010 07:31:27

yoshi a écrit :

Quand j'ai dit : c'est juste, je faisais allusion à la réponse de cazio...
Je n'ai pas écrit : 1. Réponse : V.

D'acc. Je n'avais pas vu.

cazio · 13-10-2010 19:14:57

Bonsoir, la preuve pour le 3 c'est pas plûtot la T.V.I.

yoshi · 13-10-2010 20:49:58

Bonsoir,

Non, le Théorème des gendarmes sert tout particulièrement avec les limites :
- limites de fonctions si on f(x)<=g(x)<=h(x) et qu'on cherche à montrer que g(x) tend vers une limite l quand x tend vers une certaine valeur (ou oo), on encadre g entre 2 fonctions f et h qui tendent toutes deux vers cette limite l... Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _gendarmes
- limites de suites : voir http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … armes.html

@+

cazio · 15-10-2010 18:24:08

Bonjour, ok merci

Voici le dernier exercice:

Soit f la fonction numérique définie sur R par:

f(x)= [tex]\frac{{x}^{3}-{\,x}^{2}+\,3x\,+5}{{x}^{2}+3}[/tex]

On désigne par c sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité: 1 cm sur les deux axes).

1.Déterminer lim f en +oo et -oo

2.Démontrer que l'on peut écrire :
[tex]f\left(x\right)=x-1+\frac{8}{{x}^{2}+3}[/tex]

3.Soit d la droite d'équation y=x-1

a)Etudier la position de C par rapport à la droite d.
b)Détérminer le plus petit naturel n tel que:
Si x [tex]>[/tex] n, alors f(x)-(x-1) [tex]<[/tex] 0.001
c)Démontrer que la droite d est asymptote à la courbe C.

4.On considère l'équation f(x)=0.
Démontrer que -1 est l'unique solution de cette équation.

5.On considère l'équation f(x)=3
Démontrer qu'elle admet une unique solution alpha.Par la méthode balayage, donner un encadrement de alpha d'amplitude 0.001.

6.Montrer que [tex]f\left(x\right)-2=\frac{{\left(x-1\right)}^{3}}{{x}^{2}+3}[/tex]
En déduire la solution de l'équation f(x)=2 et la postion de la courbe C par rapport à la droite d'équation y=2.

7.Dans le repère du plan, tracer les droites d et d' puis la courbe représentative de f.

J'ai réussi à faire la 1 et la 2 mais à partir de la 3 je n'y arrive plus.

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par cazio (15-10-2010 18:24:49)

yoshi · 15-10-2010 20:49:52

Salut,

3) a) La position de C par rapport à d : c'est ta leçon...
Etudie le signe de f(x)-(x-1) quand x tend vers +oo et -oo
Si c'est + : au dessus
Si c'est - : au dessous
b) Pas de quoi fouetter chat (la SPA n'apprécierait d'ailleurs pas).
Donc on part de [tex]\frac{8}{x^2+3}<0.01[/tex] qui est équivalent à [tex]x^2+3>800[/tex] et [tex]x^2>797[/tex]
Tu cherches donc n pour que [tex]n^2>797[/tex], j'espère que tu vois comment on trouve ça...
c) Là encore, c'est ta leçon : d est asymptote si et seulement si [tex]\lim_{x\to \pm \infty}{f(x)-(x-1)}=0[/tex] quand x tend vers +oo et -oo...
Autrement dit quand x tend + ou - oo la distance entre ta courbe et la droite diminue de plus en plus.
Tu sais donc ce qu'il te reste à faire !
4. f(x) =0 soit [tex]x^3-x^2+3x+5=0[/tex] puisque [tex]x^2+3\not=0[/tex] quel que soit x dans R...
Heureusement pour toi, il se trouve que -1 est une "solution évidente" (choix entre -1, 0, +1).
Tu le vérifies.
Puis tu factorises : [tex]x^3-x^2+3x+5=(x+1)(ax^2+bx+c)[/tex].
Comme le coeff de x^3 est 1 alors a=1
Comme le nombre indépendant de x est 5, alors 1 * c = 5, d'où c =5.
Reste à chercher b : [tex]x^3-x^2+3x+5=(x+1)(x^2+bx+5)[/tex] : tu développes, tu identifies et tu trouves b = -2.
Pour savoir si [tex]x^2-2x+5 = 0[/tex] a une solution, alors le discriminant est ton ami
5. f(x)=3, soit encore [tex]x-4+\frac{8}{x^2+3}=0[/tex]
Écrire [tex]x-4+\frac{8}{x^2+3}[/tex] tout sur le même dénominateur.
Soit g(x) ce numérateur : seule l'équation g(x)=0 m'intéresse : x²+3 n'étant jamais nul...
Tu voulais du TVI ? Coucou le revoilou...
Et rebelote :
Dérivée g'(x) pour étude du sens de variation de g : croissante, décroissante, croissante.
Les deux zéros de la dérivée sont obtenus pour des valeurs x1 et x2 (x1 < x2) qui donnent des valeurs de g(x) négatives :
ça c'est le moins drôle, parce que je ne vois pas d'autre moyen de le prouver que de te payer le calcul de g(x1) et g(x2)...
Parce que x1 et x2 comportent des racines et un dénominateur...
A partir de là sur [x2 ; +oo[ g est croissante d'une valeur g(x2)<0 à +oo, le TVI que g passe par zéro...
Balayage : tu vas constater que g(3)<0 et g(4)>0 : à partir de là, tu procèdes comme déjà vu.
Tu restreins l'intervalle à 0.1, puis à 0.01 et enfin à 0.001...

6. T'attends quoi pour calculer f(x)-2 ? Et montrer que le numérateur obtenu est [tex]x^3+3x^2+3x+1[/tex], soit [tex](x+1)^3[/tex], Identité remarquable...
f(x) = 2 donne [tex]f(x)-2=\frac{(x+1)^3}{x^2+3}=0[/tex]
Position de C par rapport à d' d'équation y = 2 : signe de f(x)-2.
Méthode : voir plus haut...
7. Ça c'est juste du tracé sur papier millimétré : à toi de jouer, rien de nouveau...

@+

cazio · 17-10-2010 11:05:54

Bonjour, avant de commencer je ne vois pas du tout comment faire pour calculer la limite de f(x) - (x-1).

Merci d'avance.

yoshi · 17-10-2010 18:30:17

Bonsoir,

Alors un petit conseil, ouvre les yeux et fais ce que te dis l'énoncé !!!
L' énoncé te dit : calculer la limite de [tex] f\left(x\right)=x-1+\frac{8}{{x}^{2}+3}[/tex], alors moi bête et discipliné, qu'est-ce que je fais ?

Bin, c'est simple je calcule f(x)-(x-1) : [tex] f(x)=x-1+\frac{8}{x^2+3}=x-1+\frac{8}{x^2+3}-(x-1)=\frac{8}{x^2+3}[/tex]

Et calculer [tex]\lim_{x \to \pm \infty}\left(\frac{8}{x^2+3}\right)[/tex], c'est vraiment l'enfance de l'art, hein...

@+

cazio · 17-10-2010 19:32:37

Bonsoir,
Pour la 3-a) , je trouve 0 en -oo et en +oo. Cela n'est ni positif, ni négatif pour pouvoir étudiez la position de C par rapport à la droite d.

Pour la 3-c), faut il précisez qu'elle est asymptote horizontale?

Merci d'avance.

Dernière modification par cazio (17-10-2010 19:55:26)

yoshi · 17-10-2010 20:08:50

RE,

C'est toi qui a parlé de limite, alors je t'ai répondu sur la limite.

Mais si je me relis, je ne t'avais parlé limite, mais bien précisé :

3) a) La position de C par rapport à d : c'est ta leçon...
Etudie le signe de f(x)-(x-1) quand x tend vers +oo et -oo
Si c'est + : au dessus
Si c'est - : au dessous

J'ai eu tort de préciser : quand x tend vers +-oo.

Mais de toutes façons f(x)-(x-1) tend vers 0 par valeurs positives ou négatives ? La réponde te donnerait le signe de f(x)-(x-1) en +_oo
Le signe, ici, c'est bien plus simple : c'est toujours le même, quel que soit x...
Donc ta courbe sera toujours au dessus ou toujours au dessous, de la droite selon le signe.

3.c y = x- 1, asymptote... "horizontale" ? horizontale, vraiment ??? J'ose espérer que ce n'est pas ce que tu voulais écrire.
Quant à la précision : tu peux préciser asymptote + qualificatif (que je te laisse trouver). L'énoncé dit seulement asymptote, alors je considère que tu n'es pas obligé, même si la précision ne te coûterait pas grand chose...

@+

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