Enigme : l'éléphant aux bananes

cléopatre · 23-12-2007 22:57:59

Bonjour à tous et à toutes !

Un éléphant possède 3000 bananes.
Il consomme 1 banane par kilomètre
Il peut au mximum porter 1000 bananes
Il doit parcourir 1000 kilomètres pour atteindre le village (en ligne droite pour les tordus...)

Combien peut il au maximum donner de bananes aux villageois affamés ?? (Quelle belle histoire....)

Si cela vous intéresse j'ai réaliser un petit programme avec maple en ayant la possibilité de changer à notre guise l'énoncé (nbre de kilomètre, la consomation, le nbre de bananes au départ).

Bonne réfléxion et à très vite !!!

yoshi · 28-12-2007 19:58:18

Bonsoir,

Je connaissais l'énigme avec un chameau...
La solution consiste à devoir parcourir le minimum de km de la dernière étape (il y en aura donc plusieurs) avec les 1000 bananes de charge utile.
Au delà de la programmation, (avec Maple ou autre), j'ai longtemps cherché une résolution mathématique avec recherche de maximum... Sans succès, hélas.

Je n'en dirai pas plus...

Enjoy !

@+

Barbichu · 21-08-2008 15:06:22

Salut,
ne pouvant me calmer, je vais en profiter pour dire que j'ai trouvé 533 bananes et ce sans programmer.

La présentation du raisonnement requiert l'introduction de quelques définitions adaptées :
I/ Définitions
* Notons B le nombre de bananes initial, K la capacité de l'éléphant, et D la distance à parcourir en km. (ces quantités sont supposées entières)
Pour clarifier mes propos, on dira que le point de départ est à gauche et celui d'arrivé à droite.

* Nous appelleront situation la donnée de la position de l'éléphant et du nombre de bananes disposées à chaque kilométrage (compris entre 0 et D). L'ensemble des situations est donc décrit par [tex]\mathcal{S}=\{0,\ldots,D\}\times(\mathbb{N}\times\ldots\times\mathbb{N})[/tex] et on écrira [tex]s=(p_s, (b_0^s,\ldots,b_D^s)) \in \mathcal{S}[/tex]
* Nous noterons pour une situation s donnée [tex]B_s = \displaystyle\sum_{i=0}^D b_i^s[/tex] le nombre total de bananes non consommées et non oubliées.
* Nous appeleront situation initiale [tex]s_0 = (0,(B,0,\ldots,0))[/tex], la situation de départ.
* Nous appeleront situation finale, toute situation s telle que [tex]p_s = D[/tex] (l'éléphant est arrivé) et [tex]B_s = b_D^s[/tex] (toutes les bananes non mangées et non oubliées sont à l'arrivée). On notera [tex]\mathcal{S}_f[/tex] l'ensemble des situations finales.

* Nous appelleront transition unitaire une fonction (partielle) permettant de passer d'une situation à une autre en une étape (une fonction de [tex]\mathcal{S}[/tex] dans [tex]\mathcal{S}[/tex]). L'ensemble des transitions unitaire sera noté [tex]\mathcal{T}_1[/tex]
Une transition unitaire est soit :
* Une transition gauche avec n bananes, notée [tex]g_n[/tex]
* Une transition droite avec n bananes, notée [tex]d_n[/tex]
* L'oubli d'une banane à la position i, notée [tex]o_i[/tex] (où que soit l'éléphant, il peut oublier une banane qu'il a laissé à n'importe quelle position, car il s'agit là d'une opération mentale)
* Nous appeleront transition de taille n la composition de n transitions unitaires. On notera [tex]\mathcal{T}_n[/tex] l'ensemble des transitions de taille n.
Il est facile de montrer que si [tex]n\neq m[/tex] alors [tex]\mathcal{T}_n\cap\mathcal{T}_m = \emptyset[/tex] (il suffit de remarquer que si [tex]\tau\in\mathcal{T}_n[/tex] et que [tex]t=\tau(s)[/tex] alors [tex]B_t = B_s-n[/tex])
* Nous appelerons transition la composition d'un nombre fini de transitions unitaires. On notera [tex]\mathcal{T} = \displaystyle\bigsqcup_{n=0}^\infty \mathcal{T}_n[/tex] (il s'agit d'une union disjointe!)
(Rq : par convention on pose [tex]\mathcal{T}_0 = \{\mbox{id}\}[/tex])
* Étant donné [tex]\tau \in \mathcal{T}[/tex], on note [tex]|\tau|[/tex] l'unique entier n, tel que [tex]\tau \in \mathcal{T}_n[/tex]. C'est bien là la taille de [tex]\tau[/tex].
* Étant donné [tex]\tau \in \mathcal{T}[/tex] de taille n, il existe donc [tex]\tau_1,\ldots, \tau_n[/tex] unitaires tels que [tex]\tau = \tau_n\circ\ldots\circ\tau_1[/tex].

* Étant donné [tex]s \in \mathcal{S}[/tex], on appelle transition finalisante à partir de s, toute transition [tex]\tau \in \mathcal{T}[/tex] telle que [tex]\tau(s)[/tex] existe et soit finale.
* on appelle transition finalisante minimale à partir de s, une transition finalisante à partir de s (s'il en exisite une) qui soit de taille minimale.

II/ Résolution
Le problème revient donc à trouver/construire une transition finalisante minimale à partir de [tex]s_0[/tex]
Présentons maintenant trois lemmes qui viennent naturellement les uns après les autres.
Je vais me dispenser de la démonstration pour le moment, car c'est plus fastidieux que difficile.
Il faut démontrer les trois simultanément, par récurrence sur la taille des transitions minimales finalisantes.

1/Lemme de progression
Soit [tex]s\in\mathcal{S}[/tex] telle que [tex]\forall i\leq p_s,\;b_i^s=0[/tex], on pose [tex]n=\max(b_{p_s}^s,K)[/tex].
S'il existe une transition minimale finalisante à partir de s de taille non nulle, alors il existe [tex]\tau \in \mathcal{T}[/tex] telle que [tex]\tau\circ d_n[/tex] soit une transition finalisante minimale à partir de s.
Cela signifie que lorsque l'éléphant n'a laissé aucune banane derrière lui, il peut prendre toutes les bananes qu'il peut pour progresser, sans modifier l'optimalité de sa stratégie
2/Lemme de l'oubi
Soit [tex]s\in\mathcal{S}[/tex] telle que [tex]\forall i\leq p_s-1,\;b_i^s=0[/tex] et [tex]b_{p_s-1}=1[/tex].
S'il existe une transition minimale finalisante à partir de s de taille non nulle, alors il existe [tex]\tau \in \mathcal{T}[/tex] telle que [tex]\tau\circ o_{b_s-1}[/tex] soit une transition finalisante minimale à partir de s.
Cela signifie que lorsque l'éléphant a laissé une seule banane, il peut l'oublier, sans modifier l'optimalité de sa stratégie
3/Lemme de regression
Soit [tex]s\in\mathcal{S}[/tex] telle que [tex]\forall i\leq p_s-1,\;b_i^s=0[/tex] et [tex]b_{p_s-1}\geq 2[/tex].
S'il existe une transition minimale finalisante à partir de s de taille non nulle, alors il existe [tex]\tau \in \mathcal{T}[/tex] telle que [tex]\tau\circ g_1[/tex] soit une transition finalisante minimale à partir de s.
Cela signifie que lorsque l'éléphant a laissé plus de deux bananes juste derrière lui, il peut retourner en arrière, avec pour cargaison la seule banane qu'il doit consommer, sans modifier l'optimalité de sa stratégie

III/Conclusion
L'éléphant peut donc systématiquement rapatrier toutes les bananes de kilomètre en kilomètre, en oubliant éventuellement une banane si elle reste seule.
* Il va donc faire N1 = 200km en faisant 2 aller-retour et 1 aller simple à chaque fois (N1 est le plus petit entier tel que 3000-5*N1 passe en dessous de 2001, en l'occurence 3000-5*N1 = 2000)
* Puis N2 = 333 km en faisant 1 allez-retour et 1 aller simple à chaque fois (N2 est le plus petit entier tel que 2000-3*N2 passe en dessous de 1001, en l'occurence 2000-3*N2 = 1001)
* Puis les N3 = 1000-(N1+N2) = 467km restant avec les 1000 bananes qu'il peut transporter (en oubliant donc une banane au kilomètre 533).
Il arrive donc à destination avec 1000-N3 = 533 bananes
++

Dernière modification par Barbichu (21-08-2008 18:00:36)

yoshi · 21-08-2008 19:23:22

Bonsoir,

Magnifique !
J'ai le plaisir de constater, qu'au moment où avait été portée à ma connaissance la version avec un chameau, j'étais arrivé (empiriquement) à ce même résultat en 3 étapes.
Mais là, franchement, c'est impressionnant !
Et la foule en délire de scander, après un tonnerre d'applaudissements : Barbichu ! Barbichu ! Barbichu ! Barbichu !...

@+

[EDIT]
Si tu es au chômage technique, j'ai une horreur pour toi :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1246
J'ai même renoncé à publier la solution détaillée (plusieurs pages).

yoshi · 22-08-2008 07:39:14

Re,

Il m'est revenu que j'avais stocké mes réponses, j'ai remis la main dessus et t'offre ma solution très empirique ainsi que je l'ai dit.

Mon raisonnement.
Ainsi que je l'ai écrit dans mon réponse à Cléopatre, la problématique est d'avoir à faire à la fin le minimum de km avec 1000 bananes.
Je constate donc que j'ai besoin de deux étapes intermédaires pour arriver à 2000 bananes puis 1000.

Soit n le nombre de km de la 1ere étape.
Je dois donc faire 3 voyages mais ces voyages comprendront 2 AR. J'ai donc 5n = 1000 et n = 200.
1ere étape 200 km. Le chameau aura parcouru 1000 km et consommé 1000 bananes. Reste 2000 bananes.

Soit m le nombre de km de la 2e étape.
N'ayant plus que 2000 bananes à transporter, j'ai besoin de 2 voyages dont 1 AR. J'ai donc 3 m = 1000 et m = 333 km. L'AR me consomme 666 bananes, j'en dépose 334. L'aller simple me consomme 333 bananes. Reste donc 667+334 bananes soit 1001 bananes.

Le chamelier, fort satisfait de lui, s'autorise donc à s'offrir la 1001e banane et repart pour 1000 - (200+333) soit 467 km avec 1000 bananes.
Il lui restera donc à l'arrivée : 533 bananes.

Lorsque j'ai évoqué une résolution mathématique avec recherche de maximum, je pensais à un truc de ce genre
|5m+3n+p<=3000
<|m+n+p=1000
| ?????
aboutissant à une magnifique inéquation que j'aurais résolue et qui m'aurait donné directement m, n et p.
C'est pourquoi j'ai ajouté :

... Sans succès, hélas.

Et je pense toujours que c'est irréalisable...

@+

Barbichu · 22-08-2008 12:32:18

Hello,
je pense en effet qu'une telle démarche est irréalisable, il y a à la base, beaucoup trop de paramètres à faire varier : il n'y a pas que 3 "étapes" à placer, on pourrait en envisager 4, 5, 6, etc ... ou en fait autant que de bananes. Ce qui revient à la maximisation d'un problème avec potentiellement un très grand nombre de variables dont je ne suis pas sur que l'expression soit aisée.

Au passage, je te ferais remarquer que mon éléphant ne fait pas trois étapes, mais 534, car jusqu'au kilomètre 533, il déplace systématiquement toutes les bananes, car c'est la stratégie que l'ai prouvée optimale. Au final le résultat est le même donc ta stratégie est aussi optimale, sauf que je ne vois pas comment montrer que la tienne l'est, directement.
++

PS : Je réfléchi à ton problème de joueurs de cartes, je dois avouer que mes neurones sont en train de griller. Je ne vais pas tarder à te poser 2 ou 3 questions.

byas · 14-09-2009 18:39:47

la reponse 533 est fausse , vous avez tout bon mais oublier une banannes celle au km 533 . A 533 km vous avez 334 bananne et avez la plae que pour 333 , a c moment il vus suffit juste de manger une bananne de prendre les autre et avec la bananne mangee vous arriver au 534 e km de la il vous reste 466 km a faire .
1000-466 = 534

near · 23-09-2009 18:45:26

j'ai fait le méme raisonnement que yosh et je pense que c'est logique mais je veux savoir comment tu l'as prgrammée sur maple . l'enigme est trés amusante. ca m'a fait trés plaisir. merci

Pharaon · 01-05-2010 11:10:47

Bonjour, comme beaucoup d'autres personnes cette énigmes m'a posé énormément de difficultés mais elle est très amusante. Voici la solution de cette énigmes en utilisant les maths qui est sur beaucoup de sites mais dont je ne comprends pas une étape:

Traduction mathématique:
=====================
On peut montrer qu'une stratégie optimale pour porter le maximum de bananes sur (n+1) Km est de porter d'abord un max de bananes au nième Km, puis de porter ces bananes du Km n au Km (n+1) (par plusieurs allers-retours). On peut alors trouver la relation entre U(n+1) et U(n).
C'est là un problème connu dont voici un algorithme donnant une solution optimale:
L'éléphant fait d'abord des allers-retours entre le point de départ et le km 1 de façon à transporter toutes les bananes au km 1. Puis il recommence entre le km 1 et le km 2 et ainsi de suite .... Nous allons donc utiliser "les suites définies par une relation de récurrence" pour résoudre cette énigme.

Si Un est le nombre de bananes ainsi transportées au km n, on a:
U0 = 3000
U(n+1) = Un-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1
(ceil désigne l'entier immédiatement supérieur)

Avec une calculette ou Excel on trouve U1000 = 534 bananes.

Pouvez vous m'expliquer cette étape: "U(n+1) = Un-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1" et comment la calculer avec excel?

Un tout grand merci d'avance

Dernière modification par Pharaon (01-05-2010 11:21:57)

Pharaon · 14-05-2010 09:38:25

Bonjour à tous,

J'ai trouvé dans d'autres sites ce qui a permis de trouver la formule mais je comprend pas comment on est passé de:

"Conditions:
1) si U(n)<=1001 , alors un seul voyage suffit pour transporter le stock restant ( grace à l'astuce de la banane mangée avant de partir )
et donc
U(n+1)=U(n)-1 ( une banane perdue par km parcouru )

2) si 1001<U(n )<=2002 , il faut 2 voyages minimum ( toujours avec la banane avant le depart , deux fois de suite ).
et on retrouve donc
U(n+1)=U(n)-3 ( une banane perdue à chaque km sur deux aller et un retour )

3) enfin si 2002<U(n) il faut 3 voyages et
U(n+1)=U(n)-5 ( trois allers et 2 retours )"

à cette formule qui permet de satisfaire ces trois conditions en une seule écriture "U(n+1)=U(n)-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1"

Ensuite pouvez-vous me dire comment on calcule cette formule:
"U(n+1)=U(n)-2*ceil((Un-1001.)/(1002.))-1"
si possible avec excel sinon par calcule écrit?

Un tout grand merci d'avance.

yoshi · 14-05-2010 13:43:39

Bonjour,

Pour aller vite, deux questions
1. Que représente n dans tes formules ? un nombre de km ?
2. Que représente Un dans tes formules, le stock de bananes initial ?

@+

Pharaon · 14-05-2010 20:12:52

Bonjour,

Je réponds à tes questions:
1) n désigne la position de l'éléphant (exemple si n=0, il se trouve au point initial, si n vaut 1 il se trouve au km 1, si n = 2 il se trouve au km 2,... jusqu'à n= 1000 il se trouvera au point final, donc à sa destination). Attention n appartient à l'ensemble des naturels (0, 1, 2, 3...).

2) U(n) désigne le nombre de bananes ainsi transportées au km n. U(n) est également le symbole des suites définies par une relation de récurrence

As tu compris?

Encore merci d'avance

Dernière modification par Pharaon (14-05-2010 20:15:37)

yoshi · 14-05-2010 20:39:35

Re,

ok !

Attention n appartient à l'ensemble des naturels (0, 1, 2, 3...).

U(n) est également le symbole des suites définies par une relation de récurrence.

Non ??? Sans blague ?!!

Alors, cours pour cours :
1. Un ensemble défini en extension se met entre accolades : {1,2,3....1000}.
2. En l'occurence, la notation est plutôt [tex]U_n[/tex], [tex]U_{n+1}[/tex]... avec des indices.

Pour Excel ou OpenOffice Calc (libre et gratuit, lui), ceil se traduit par : ARRONDI.SUP(n° cellule)...
Pour le reste, pas le temps demain (pas là), je verrai après.
Mais freddy va bien passer par là...

@+

PS
Désolé, karlun a réussi à me prendre à rebrousse-poil...

Pharaon · 16-05-2010 12:59:29

Bonjour à tous,

On m'a enfin donné une réponse par mail et la formule précédente est fausse, je vous explique comment on a trouvé la nouvelle formule:

Voici une formule qui généralise toutes les conditions:

1001*i > ou = U(n) (=) i > OU = U(n)/1001 (ici on ne change pas le signe de l'inéquation car 1001 est positif)

Or i appartient à l'ensemble des naturels {0,1,2,3...., (i-2),(i-1),i} et indique le nombre de voyages pour transporter le plus de bananes au km n.

Donc on peut réécrire ces conditions par la formule suivantes:
i = ceil(U(n)/1001) = arrondi.sup(U(n)/1001;0)
(le ";0" indique qu'on demande un nombre appartenant à l'ensemble des naturels)

Maintenant pour résoudre cette énigme on va utiliser la formule suivante:
U(n+1)= U(n)-2*i+1

Or nous connaissons la valeur de i.

Il suffit de la remplacer dans l'équation: U(n+1) = U(n)-2*ceil(U(n)/1001)+1
On peut aussi l'écrire: U(n+1) = U(n)-2*arrondi.sup(U(n)/1001)+1

Pour vous montrer qu'elle est vraie essayons de répondre aux questions suivantes:

1)combien de bananes au maximum le planteur pourra t-il placer sur le marché avec 5000 bananes?
2)reprendre la même question avec 3000, 10000 bananes, 15000 bananes et 25000 bananes
3) calculer le coefficient de perdition pour chaque cas. Après ça, que peut-on conclure quant au coefficient de perdition lorsque le nombre de bananes augmente?

Réponse:
1) Si nous avons 5000 bananes = U(0) et que nous calculons cette suite sur excel ou sur une calculette vous obtiendrez, U(1000)= 788

Avec Excel vous mettez dans la case A1, la valeurs de U(0)
Puis dans la case A2 vous mettez: =A1-2*arrondi.sup(A1/1001;0)+1
Ensuite, vous allez en bas à droite de la case A2, ça se transforme en petite croix noir, et vous faites un cliquer-glisser jusqu'à A1001

2) A) avec 3000= U(0), on aura U(1000)=534
B) avec 10000, on aura U(1000)= 1400
C) avec 15000, on aura U(1000)= 2012
D) avec 25000 bananes, on aura U(1000)= 3406

3) D'abord le coefficient de perdition (CP) c'est le nombres de bananes consommées par l'éléphant sur le nombre de bananes produites:

A) avec 5000 bananes: CP = 5000-788/ 5000 (=) CP = 4212/5000
B) avec 3000 bananes: CP = 3000-534/ 3000 (=) CP = 2466/3000
C) avec 10000 bananes: CP = 10000-1400/ 10000 (=) CP = 8600/10000
D) avec 15000 bananes: CP = 15000-2012/ 15000 (=) CP = 12988/15000
E) avec 25000 bananes: CP = 25000-3406/ 25000 (=) CP = 21594/25000

Par contre est-ce que quelqu'un a une idées pour la conclusion du CP? Êtes-vous d'accord avec ce que j'ai mis?

Un tout grand merci d'avance

yoshi · 16-05-2010 16:11:38

Re,

Avec le tableur Calc de la suite bureautique libre (= dont les lignes de code est accessibles à tout le monde et modifiables librement par tout le monde) gratuite OpenOffice.org, tout le contraire d'Excel, on fait :
On met :
=25000 dans A1
= A1-2*arrondi.sup(A1/1001;0)+1 dans A2,
On sélectionne les cellules A2 à A1001 en allant aussi en base de la case A2 où on clique sur la petite croix noire qui apparaît, on laisse le doigt appuyé sur le bouton, et on descend jusqu'à A1001 où on relâche le bouton de la souris.
Et on obtient effectivement 3406 en A1001...

Programmation en Python :

# usr/bin/env python

# -*- coding: cp1252 -*-

from math import ceil

s=25000

sd=s

for i in xrange(1,1001):

    s=s-2*ceil(s/1001)+1

print "Après 1000 km, le stock de",sd,"bananes a été réduit à",s

Affichage :

Après 1000 km, le stock de 25000 bananes, a été réduit à 3406

Oui, tes calculs sont justes... dans ta tête, l'écriture étant fausse à cause du non respect de la priorité des opérations... ;-)
En effet : [tex]CP = 5000-\frac{788}{5000} = \frac{5000 \times 5000}{5000}-\frac{788}{5000}=\frac{25000000-788}{5000}[/tex]

Il aurait fallu écrire :
(5000-788)/5000 = 4212/5000 qui correspond à : [tex]\frac{5000-788}{5000}=\frac{4212}{5000}[/tex]

Intéressant serait
1. De trouver une formule exprimant [tex]U_n[/tex] en fonction de n et non plus en fonction de [tex]U_{n-1}[/tex]
2. D'en déduire le CP exprimé en fonction de n.
Et ça, j'ai comme l'impression que c'est une autre paire de manches, à cause des arrondis sup...

Avec un tableur :
Mettre dans B2 :
=($A$1-A2)/$A$1
Nota : Que ce soit OOo Calc ou Excel le $ sert à désigner une référence absolue : tout le long des 1000 lignes,
$A$1 désignera toujours la cellule A1, alors que A2 deviendra A3, A4...

On attrape comme précédemment la petite croix et on tire jusqu'à B1001...
J'obtiens 0,84 avec 5000 bananes...
La spécification du nombre de décimales dans une colonne s'obtient avec OOo Calc en cliquant sur la case B (itou avec Excel), puis Format --> Cellules --> Nombres et modifier le nombre de décimales.
Avec Excel, ça a fonctionné pendant un temps comme ça, puis ça a changé avec les différentes versions, donc comme mes moyens et ma philosophie m'interdisent d'acheter Microsoft Office - mais aussi de le pirater, je n'ai pas Excel : donc, je n'en sais pas plus...
Notre ami nous renseignera sûrement.

@+

freddy · 21-09-2010 09:33:01

Salut,

je n'avais pas vu l'amicale invitation de yoshi.

Sur XL de PetitMou, on dispose depuis qques années de

arrondi(x,n)

arrondi.au.multiple(x,p)

arrondi.inf (x,p)

et arrondi.sup(x,p)

Ici, il faut prendre arrondi.sup(x,0).

Je vais mieux regarder le sujet des bananes, je pensais au début à un sujet burlesque ...

A +

Dernière modification par freddy (21-09-2010 16:11:27)

freddy · 23-09-2010 08:09:23

Salut,

on m'a demandé tout récemment de trouver la distance que pouvait parcourir un éléphant marchant droit devant lui, disposant d'un stock initial de 10.000 bananes et consommant 1 banane/km.

En fouillant un peu sur la toile, c'est un problème qui avait été publié dans Jeux et Stratégie en 1981 (belle année, celle de ma fille ...).

On trouve en particulier que le fameux CP est égal à [tex]\sum^{n}_{p=1}\frac{1}{2p+1}[/tex] où [tex]n=\frac{10.000}{1.000}-1[/tex] tel que 2n+1=19 est le nombre d'AR de la première étape pour transporter 9.000 bananes.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 23-12-2007 22:57:59

Enigme : l'éléphant aux bananes

#2 28-12-2007 19:58:18

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#3 21-08-2008 15:06:22

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#4 21-08-2008 19:23:22

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#5 22-08-2008 07:39:14

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#6 22-08-2008 12:32:18

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#7 14-09-2009 18:39:47

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#8 23-09-2009 18:45:26

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#9 01-05-2010 11:10:47

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#10 14-05-2010 09:38:25

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#11 14-05-2010 13:43:39

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#12 14-05-2010 20:12:52

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#13 14-05-2010 20:39:35

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#14 16-05-2010 12:59:29

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#15 16-05-2010 16:11:38

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#16 21-09-2010 09:33:01

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

#17 23-09-2010 08:09:23

Re : Enigme : l'éléphant aux bananes

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