Un autre problème de probabilité

freddy · 20-09-2010 10:00:26

Bonjour,

je m'engage à donner la réponse au dernier sujet d'Evaristos s'il me donne la réponse au sujet suivant.

Soit un cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] de centre O et de rayon r > 0 ; soient deux points A et B sur icelui.

Quelle est la probabilité que la corde [AB] soit de longueur supérieure à celle du côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle ?

Have fun, my friend !

Dernière modification par freddy (20-09-2010 20:29:30)

nerosson · 20-09-2010 14:29:26

Salut, mon bon Freddy,

Qu'est-ce qu'on deviendrait sans toi ! Justement je m'ennuyais !

Je pense qu'il y a exactement autant de cordes AB plus longues que le côté du triangle équilatéral inscrit que de cordes AB plus courtes.

Ma démonstration suivra, mais j'envoie ce message pour prendre rang avant qu'un matheux distingué ne me coupe l' herbe sous le pied.

A tout à l'heure.

freddy · 20-09-2010 15:02:43

Re,

je t'attends avec plaisir mais n'oublie pas qu'une proba = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

En clair, tu me dis que la proba = 1/2 ...

Es tu bien sûr ?

nerosson · 20-09-2010 15:25:35

Me revoilà, Freddy,

J'ai tracé le triangle équilatéral CDE.

La perpendiculaire OF à DE coupe le cercle C en F et le côté DE en G.

Le quadrilatère DOEF est un losange parce que DF et FE sont deux des côtés de l'hexagone inscrit dans le cercle C et sont donc égaux à son rayon (OD ou OE), donc les quatre côtés du quadrilatère DOEF sont égaux.

Donc ses diagonales se coupent en leur milieu, donc GO = GF.

Ne considérons que les cordes AB parallèles à DE. Toutes celles qui coupent OG sont plus longues que DE et toutes celles qui coupent GF sont plus courtes que DE.

On peut faire passer une corde AB par chaque point du segment OF, et comme OG = GF, il y a autant de cordes AB qui coupent OG que de cordes AB qui coupent GF.

On peut faire le même raisonnement avec toute autre orientation de la corde AB.

Ca te va comme ça ou tu me renvoies à la cuisine ?

tibo · 20-09-2010 19:31:34

bonsoir,

haha, j'avais oublié combien freddy était malin...
Ca va tu ne prend pas trop de risque en t'engageant ainsi, freddy.

Je ne me rappel plus exactement la demonstration, mais il me semble qu'il n'y pas de solution
Ou plutot il y en a plusieurs, différentes...

Je vais essayé de les chercher...

tibo · 20-09-2010 20:29:10

Ton raisonnement est tout à fait juste nerosson,
en voila un autre:

On choisit d'abord A et on oriente le triangle tel que A est un sommet.
Puis on choisit B

La corde est plus longue si B est sur l'arc intercepté par le coté opposé à A (je sais pas si c'est tres clair, avec un dessin c mieux mais je ne sais pas faire)

Ce qui nous fait une probabilité de 1/3.

Il existe encore un autre raisonnement en choisissant un point a l'interieur du cercle, mais impossible de me rappeler ce qu'il faut en faire apres.

evaristos · 20-09-2010 20:54:38

bonsoir Freddy

Il y a 3 façons au moins de considérer cette corde c'est bien sûr le paradoxe de Bertrand.

Au travail pour mon exercice!

Bye

freddy · 20-09-2010 21:17:15

Salut tibo,

il suffit de reprendre le dessin de nerosson et de lui faire remarquer qu'en posant A=C, il suffit alors que B soit compris sur l'arc de cercle D-E.

Et donc on a 1/3 !!!

Dernière modification par freddy (20-09-2010 21:18:04)

freddy · 20-09-2010 21:32:49

evaristos a écrit :

bonsoir Freddy
Il y a 3 façons au moins de considérer cette corde c'est bien sûr le paradoxe de Bertrand.
Au travail pour mon exercice!
Bye

Salut l'ami,

je ne vais pas faire ton exercice.

Je suis désolé, mais ici, on s'amuse, on ne se lance pas des défis que n'importe qui peut résoudre.

Bises mon grand.

freddy · 21-09-2010 09:34:31

Re,

il y a EXACTEMENT 3 façons de résoudre ce problème, ni plus, ni moins.

Bye

nerosson · 21-09-2010 13:41:32

Salut à tous,

Je ne suis tout de même pas mécontent d'avoir trouvé une réponse juste, même s'il y en a deux autres.

Tibo, même sans dessin, ton explication était parfaitement claire et je l'ai saisie sans difficulté.

Mon sentiment est que dans ce problème intervient une notion d'infini (le nombre des sécantes AB est infini).

Or, dès qu'on fait intervenir la notion d'infini, on peut fabriquer des paradoxes à la pelle.

Vous connaissez tous la formule « Tous les citoyens sont égaux, mais il y en a qui sont plus égaux que les autres ». Pour les infinis, c'est pareil : Une droite est infinie. Si je la coupe en deux, j'obtiens deux demi-droites qui sont toutes deux infinies.

Donc : un infini = deux infinis.

Et si, à une de ces demi-droites, j'enlève successivement des segments, j'obtiens des infinis qui sont de plus en plus courts.

freddy · 21-09-2010 14:15:31

Re,

pour un adepte de l'arithmétique, tu as un bon esprit géométrique, je trouve ...

Sinon, il est bien sûr très dangereux de manipuler les infinis sans précaution, c'est comme de la TNT, ça te pète dans les doigts sans crier "gare" !

Tiens, combien vaut la somme des 1/(2p+1) pour p dans N par rapport à la somme des 1/n, n entier non nul ?

nerosson · 21-09-2010 16:19:24

Re,

Je ne sais pas combien vaut la somme en question, mais je sais ce que vaut ta formulation : elle vaut pas tripette : j'ai rien compris !

freddy · 21-09-2010 16:26:04

hi,

m'étonne pas, je te la refais simple. Soient

[tex]S'=\lim_{n \to \infty} \sum_{p=0}^n\frac{1}{2p+1}[/tex] et

[tex]S=\lim_{n \to \infty} \sum_{p=1}^n\frac{1}{p}[/tex]

Combien vaut S' comparée à S ?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 20-09-2010 10:00:26

Un autre problème de probabilité

#2 20-09-2010 14:29:26

Re : Un autre problème de probabilité

#3 20-09-2010 15:02:43

Re : Un autre problème de probabilité

#4 20-09-2010 15:25:35

Re : Un autre problème de probabilité

#5 20-09-2010 19:31:34

Re : Un autre problème de probabilité

#6 20-09-2010 20:29:10

Re : Un autre problème de probabilité

#7 20-09-2010 20:54:38

Re : Un autre problème de probabilité

#8 20-09-2010 21:17:15

Re : Un autre problème de probabilité

#9 20-09-2010 21:32:49

Re : Un autre problème de probabilité

#10 21-09-2010 09:34:31

Re : Un autre problème de probabilité

#11 21-09-2010 13:41:32

Re : Un autre problème de probabilité

#12 21-09-2010 14:15:31

Re : Un autre problème de probabilité

#13 21-09-2010 16:19:24

Re : Un autre problème de probabilité

#14 21-09-2010 16:26:04

Re : Un autre problème de probabilité

Pied de page des forums