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#2 18-09-2010 09:02:05
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : corps reélle
bonjour,
lR est de dimension fini (=1)
or tout espace vectoriel de dimension fini est complet.
quant à cette derniere propriété, je n'ai pas la démonstration en tete mais il me semble que ça se demontre rapidement en utilisant les définitions d'une suite de Cauchy et d'une suite convergentes.
A ma connaissance, le seul axiome, ou définition dans ce cas, de lR est sa construction comme l'ensemble des limites des suites de Cauchy rationnelles. Toutes les propriété de lR doivent pouvoir se démontrer a partir de ça.
Dernière modification par tibo (18-09-2010 09:02:42)
Hors ligne
#3 18-09-2010 13:54:12
- webern
- Invité
Re : corps reélle
Bonjour,
est-ce que la complétude de IR ne dépend pas de la distance envisagée? Pour la distance usuelle, on montre facilement que IR est complet, mais il me semble que ce n'est pas le cas pour d'autres distances (par exemple, celle de l'exercice 2 sur les espaces complets, dans la partie analyse/ topologie de ce site).
#4 18-09-2010 20:30:23
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : corps reélle
Salut,
IR est complet parce qu'il est construit pour être complet.
Comme le signale Tibo (tiens, ca faisait longtemps!), IR est construit comme l'ensemble des limites des suites de Cauchy de Q. C'est le complété de Q. Il est complet par construction.
Lorsqu'on ne construit pas IR, on démontre qu'il est complet en utilisant par exemple le théorème de Bolzano-Weierstrass. Celui-ci dépend intimement de la propriété de la borne supérieure de IR.
Fred.
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