Exercice sur les fonctions [Résolu]

lia · 14-09-2010 19:23:45

Bonjour ,

J'ai commencé à faire un exercice mais je ne sais pas si les réponses sont correctes et il ya une question à laquelle je n'ai pas su répondre .Pourriez vous m'aider s'il vous plait ? Voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = - 2x² + x+1
Dans un repère , la fonction f est représentée par une parabole , notée P

1a) Vérifiez que pour tout x appartenant à R , on a : f(x) = 9/8 - 2 (x-1/4)²
9/8-2(x-1/4)²
= 9/8 - 2( x²-2/4x+1/16)
= 9/8 - (2x² -4/4 x + 2/16)
=9/8 -2x²+1x-2/16
= -2x²+x+9/8-2/16
= -2x²+x+18/16 - 2/16
= -2x²+x+16/16
= -2x² +x+1

Vérifiez que pour tout x appartenant à R , on a : f(x) = -2(x-1) (x+ 1/2)
-2(x-1) (x+1/2)²
=( -2x+2) (x+1/2)
=(-2x²-x+2x+2/2)
= -2x²+x+1

2) Coisir la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes :
a) En quel point P coupe -t-elle l'axe des ordonnées ?

f(0) = -2*(0)²+0+1
= -2*0+0+1
= 0+0+1
= 1

L'image de 0 par f est 1 or P coupe l'axe des ordonnées au point de coorfonnées (0 ; f(0)) donc (0 ; 1 )

b) En quel point P coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Les abscisses des points d'intersection de P avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation : f(x) =0
donc -2(x-1) ( x+1/2) = 0
( -2x+2 ) (x+1/2) =0
-2x+2 = 0 ou x+1/2 = 0
-2x = -2 x= -1/2
-2x/-2 = -2/-2
x= 2/2
x= 1

c) Le nombre 1 admet -il des antécédents par la fonction f ? Si oui lesquels ?
Je n'ai pas su répondre à cette question

d) Quel est le sens de variation de la fonction f ?

La fonction f est représentée par une parabole , notée P et est définie sur R or la courbe représentative de la fonction carré est une parabole qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées . De plus la fonction carré est la fonction définie sur R par f(x) = x² donc la fonction f est une fonction carré ( la courbe représentative de f est une parabole mais elle est décalée vers la droite du repère , ellle n'est pas tout à fait symétrique par rapport à l'axe des ordonnées , je ne sais pas de ce fait si je peux affirmer que la fonction f est une fonction carré )

Sens de variation de la fonction f : la fonction carré est strictement décroissante sur ] - l'infini ; 0 ] puis strictement croissante sur [0 ; + l'infini [

e) Maximum de la fonction f sur R :
1 est le maximum de f sur R
Pour tout x appartenant à R , f(x) est inférieur ou égal à 1
Il est atteint en 0 ; f(0) = 1

Merci d'avance pour votre aide

thadrien · 14-09-2010 20:26:53

Salut,

1)a) Il te faut rajouter une dernière ligne : = f(x). Sinon, tout est OK.

2)a) OK.

2)b) OK. Attention à bien présenter ton raisonnement.

2)c) Relis la réponse à la question 2)a).

2)d) Ça m'a l'air embrouillé tout ça... Reprenons point par point.
La courbe représentative de f est une parabole, OK.
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole, OK.
Par contre, toutes les fonctions représentables par des paraboles ne sont pas des fonctions carrées.
f n'est pas une fonction carrée. C'est une fonction polynôme de degré 2.
Ce qui est correct de dire, c'est que la courbe représentative de f est une fonction carrée translatée et agrandie.

Par contre, tout ceci me semble bien compliqué pour simplement déterminer un sens de variation.
Il y a en effet beaucoup plus simple et plus rapide :

A partir de la forme f(x) = - 2x² + x+1 :

f(x) = a^2+bx+c avec a = -2, b = 1, c = 1. (a différent de 0)
a est négatif donc f est croissante sur [tex]]-\infty;\frac{-b}{2a}][/tex] et croissante sur [tex][\frac{-b}{2a};+\infty[[/tex]. C'est l'inverse quand a est strictement positif. Quand au cas a positif, les sens de variations sont inversés.

A partir de la forme f(x) = 9/8 - 2 (x-1/4)²
f(x) = d + e (x - f)^2 avec d = 9/8, e = -2 et f = 1/4.
b est négatif donc f est croissante sur [tex]]-\infty;f][/tex] et croissante sur [tex][f;+\infty[[/tex]. C'est l'inverse quand a est strictement positif. Quand au cas a positif, les sens de variations sont inversés.

Une fois que tu as le sens de variation, déterminer le maximum ne pose plus aucune difficulté.

e) C'est faux. Voir d)

A+
Hadrien

lia · 14-09-2010 20:59:01

Bonsoir ,

Merci beaucoup pour votre aide mais excusez moi je ne comprends pas le sens de variation de la fonction polynôme de degré 2

thadrien · 14-09-2010 21:58:07

lia a écrit :

Bonsoir ,
Merci beaucoup pour votre aide mais excusez moi je ne comprends pas le sens de variation de la fonction polynôme de degré 2

C'est un résultat de cours.

Soit [tex]f(x) = ax^2+bx+c[/tex]. Cette fonction est une fonction polynôme de degré 2. Polynôme car c'est la somme de termes en [tex]x^n[/tex], de degré 2 car n vaut 2 au maximum, et le terme en [tex]x^2[/tex] est non nul.

Calculons la dérivée de f : [tex]f'(x) = 2ax+b[/tex].

Cas où a est positif :

Pour [tex]x < -\frac{b}{2a}[/tex], [tex]f'(x) < 0[/tex] donc f est strictement croissante.
Pour [tex]x > -\frac{b}{2a}[/tex], [tex]f'(x) > 0[/tex] donc f est strictement décroissante.

Cas où a est négatif :

Pour [tex]x < -\frac{b}{2a}[/tex], [tex]f'(x) > 0[/tex] donc f est strictement décroissante.
Pour [tex]x > -\frac{b}{2a}[/tex], [tex]f'(x) < 0[/tex] donc f est strictement croissante.

yoshi · 14-09-2010 22:02:10

Bonsoir,

Il me semble que tu es en 2nde... Si ce n'est pas le cas, alors précise-le, parce que ça a son importance...

Si elle est en 1ere (et ce type d'exo est donné début 2nde en principe) et si elle a vu les dérivées à cette époque de l'année (10 j après la rentrée, ça fait juste), alors thadrien a raison.

Dans le cas contraire, non, thadrien en 2nde, on n'a pas le résultat que tu avances selon lequel le sommet de parabole est atteint pour [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex], je viens de vérifier dans un bouquin...
Par conséquent notre amie ne peut utiliser ce fait, hélas.

La question 1. a) dit Vérifiez que pour tout [tex]x \in \mathbb{R},\text{ on a : } f(x) = {9 \over 8} - 2\left(x-{1 \over 4}\right)^2[/tex]
On voit que f(x) est le résultat de la soustraction à 9/8 d'un nombre positif...
Plus [tex]2\left(x-{1 \over 4}\right)^2[/tex] sera petit et plus f(x) sera grand : le minimum de la parenthèse est atteint pour [tex]x = {1 \over 4}[/tex].

A partir de là,
* soit tu expliques que si on a maximum pour f(x) c'est que la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante, mais ça anticipe sur la question e)
* soit tu poses [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex]
alors [tex]f(a)= -2a^2+a+1\;{ et }\;f(b)= -2b^2+b+1[/tex].
Et tu cherches le signe de f(b)-f(a) :
[tex]f(b)- f(a)=-2b^2+b+1-(-2a^2+a+1)=-2b^2+b+2a^2-a=2(a^2-b^2)+(a-b)=2(a+b)(a-b)+(b-a)=(a-b)[2(a+b)-1][/tex].
On retrouve la valeur ¼ pour 2(a+b)=1 et a = b.
On va donc choisir a et b tels que [tex]{1 \over 4}\leq a \leq b[/tex]
Puisque [tex]{1 \over 4}\leq a \leq b[/tex] alors [tex]a+b-{1\over 2}\geq 0[/tex]
Donc reste à voir le signe de a-b. Et comme on a posé [tex]a \leq b[/tex] alors [tex]a-b \leq 0[/tex]
Donc sur [tex][{1 \over 4}\;;\;+\infty[[/tex] f est décroissante.
C'est ce qui se fait en 2nde...
Je sais, ce n'est pas simple, mais c'est comme ça...

Alors, lia, 2nde ou 1ere ?

@+

thadrien · 15-09-2010 10:43:35

yoshi a écrit :

A partir de là,
* soit tu expliques que si on a maximum pour f(x) c'est que la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante, mais ça anticipe sur la question e)

Ce qui n'est valable que pour les fonctions concaves, dont les polynômes de degré 2 dont le coefficient devant x^2 est positif est négatif.

Bref, on passe d'un résultat niveau 1ère à un résultat niveau CPGE (convexité et tout et tout).

Bon, blague à part, je crois que la seconde méthode est meilleure.

yoshi · 15-09-2010 10:59:41

Re,

Salut thadrien, il était évident que ce que j'écrivais à propos de croissance/décroissance, je l'écrivais dans le cas particulier de cette fonction "déduite de la fonction carré", comme dit le bouquin.
Toute la question est de savoir si le niveau de la miss est 2nde ou 1ere et ce qu'elle a déjà vu en 10 j de classe, environ 7 h de math : à la réflexion, je pencherais pour un exo de révision de 2nde donné en début de 1ere...

Donc, waiy and see...

@+

thadrien · 15-09-2010 14:24:45

yoshi a écrit :

Salut thadrien, il était évident que ce que j'écrivais à propos de croissance/décroissance, je l'écrivais dans le cas particulier de cette fonction "déduite de la fonction carré", comme dit le bouquin.

C'est pas forcément évident quand on est en seconde. J'ai déjà fait moi-même des erreurs bien pires que ça...

lia · 15-09-2010 18:16:17

Bonjour ,

Merci beaucoup pour votre aide ( pour répondre à vos questions , je suis en 1ere )

Dernière modification par lia (15-09-2010 18:18:04)

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