Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

freddy · 02-09-2010 17:37:59

Bonsoir,

Il est organisé une session de septembre à l'UFR de Maths de Paris 18. Elle consiste en une seule épreuve, elle même réduite à une seule question.

Le candidat qui trouve la bonne réponse est admis à faire valoir ses droits à rester sur le campus. Les autres doivent changer de campus et aller au minimum à une distance égale à un parsec de Paris, distance mesurée perpendiculairement à la méridienne.

Soient les nombres entiers de 1 à 27.

X et Y jouent l'un contre l'autre. X joue en premier. Chacun enlève à tour de rôle un nombre jusqu'au moment où il n'en reste plus que deux.

X gagne si leur somme est un multiple de 5. Sinon, c'est Y qui gagne.

Existe t-il une stratégie gagnante pour X, pour Y ?

Merci à Ph. F

Question subsidiaire : où doit s'installer le candidat malheureux ?

Dernière modification par freddy (02-09-2010 17:45:47)

karlun · 05-09-2010 09:01:39

Bonjour,

« X et Y jouent l'un contre l'autre. X joue en premier. Chacun enlève à tour de rôle un nombre jusqu'au moment où il n'en reste plus que deux. »
Cette nuit, j'y ai un peu pensé; j'essaye mais ça paraît un peu trop simple.
(Vivement en apprendre.)

Soient les nombres entiers de 1 à 27.
En tout, X fera 13 tirages et Y 12 tirages.
C'est X qui retire l'antépénultième entier en laissant sur la table deux derniers
dont leur somme est un multiple de 5 s'il veut gagner.

Il y a au moins (déjà) 38 façons de sommer deux entiers pour obtenir un multiple de 5 .

2---3    1---4 5---10---15---20---25
X    X
7---8    6---9
X    X
12---13 11---9
X    X
17---18 16---19
X    X
22---23    21---24
X    X
27    26

La stratégie de X est de conserver sur la table des couples d'entiers dont la somme est multiple de 5; il doit se méfier des entiers dont la valeur est déjà un multiple de 5 (5,10,15,20,25) car laissé solitaire, additionné à n'importe quel autre entier non multiple de 5 donne un non-multiple de 5.

La stratégie de Y est d'enlever un max de couples dont la somme est multiple de 5; mais en 12 prélèvements ce ne sera que peine perdue j'en ai bien peur.
Le candidat malheureux est Y à moins que X joue comme un manche.

A+-*/

Dernière modification par karlun (05-09-2010 11:46:11)

freddy · 05-09-2010 11:20:52

Salut,

as tu vérifier la justesse de ta "démonstration" ? Si je te dis que, moi, Y, je peux faire en sorte que X perde toujours ?

"Trop facile" ? ... Try again !

karlun · 05-09-2010 13:29:58

R'jour,

Tel le balancier, (merci à l'harmonisateur),
je bats (me) et recommence.

Mise en étoile: On tourne (par couche ou pas) et ça fait des multiples de 5.

   21
   11
   1

24 14 4 9 19

   6
   16
   26

   22
   12
   2

23 13 3 8 18

   7
   17
   27

et encore:

5 10 15 25

Stratégie de Y: éliminer les entiers des deux premièrs axes horizontaux (qui sont les plus courts), (24,14,4,9,19,23,13,3,8,18) afin d'isoler les axes verticaux qui sommés ne sont pas multiple de 5.
Pour Y 10 coups suffisent et encore 3 coups pour éliminer 3 des 5,10,15,25 restant.
En 13 coups il s'en sort haut la main.
Mais il n'a que 12 coups !!! Y est perdu.
Au bout du 12° coup c'est à X à jouer:

Il peut rester: (ce ne sont que des exemples mais prélevés au départ des places de départ)

15 25 12 => X prélève 12

15 8 17 => X prélève 15

14 13 27 => X prélève 14

Stratégie de X: surtout ne pas toucher aux axes horizontaux du schéma ci-dessus et attendre que Y joue.
X joue ce qu'il veut sur les axes verticaux et sur la zone que vient de jouer Y (sauf le premier coup évidemment).

A+-*/

Dernière modification par karlun (05-09-2010 13:35:12)

freddy · 05-09-2010 14:22:06

Re,

où est le nombre 20 ?

Dernière modification par freddy (05-09-2010 14:36:43)

karlun · 05-09-2010 16:48:14

Re,

Oups! mon verre de vingt est vide; à terre? Non!; ce doit être que je l'ai bu...
Ouf y en a encore.

Balancier balance.

Le raisonnement précédent est maintenu.
Les 5,10,15,20,25 sont à éliminer par Y et les 4 %5 (4 modulo5) et les 3%5

X, bon gouteur, recrache le 20:

X Y

20 4
1 3
2 9
6 8
7 14
11 13
12 19
16 18
17 24
21 23
22

restent: 26 , 27, 5,10,15,25
Et quoi que joue Y, X gagne.
Y doit donc éliminer 3 de ces 4 gênant « 0%5 » avant le 10° tirage.
Ce qui amène à un reste du type:
26,27,23,24,18,25 et c'est à Y à tirer. X s'en tire encore.

« A chaque nombre enlevé par X, Y enlève le nombre tel que la somme des deux = 0 modulo 5. »

X amène Y à tourner (en spirale) sur les étoiles et comme c'est X qui commence c'est Y qui rompt la spirale et relance l'initiative: soit 0%5 (c'est un conseil) soit l'autre étoile et X finit encore par l'emporter.

Si Y choisi le style patchwork, X se contente d'entretenir l'équilibre des paires 0%5.

Enfin c'est ce que je crois... mais je peux me tromper.

A vos remarques +-*/

freddy · 07-09-2010 11:53:09

Hello !

oui, oui, tout à fait d'accord avec toi, je ne t'avais pas lu en fait et étais sur autre chose.

ben oui, puisque le total est congru à 3 modulo 5, et que X joue en premier, sa stratégie consiste à revenir à une somme restante congru à 0 modulo 5, en annulant chaque fois le coup de Y.

Mille excuses et bravo !

Serais tu nimois ou boirais tu du chompomie ???

Dernière modification par freddy (07-09-2010 11:53:23)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-09-2010 17:37:59

Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

#2 05-09-2010 09:01:39

Re : Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

#3 05-09-2010 11:20:52

Re : Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

#4 05-09-2010 13:29:58

Re : Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

#5 05-09-2010 14:22:06

Re : Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

#6 05-09-2010 16:48:14

Re : Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

#7 07-09-2010 11:53:09

Re : Oral d'arithmétique à l'UFR de Maths de Paris 18

Pied de page des forums