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sassin

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Forme canonique [Résolu]

Bonjour, voilà je sais que c'est les vacances mais j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît pour mes révisions.

J'ai un soucis avec la forme canonique:

ex 1: Mettre sous forme canonique l'équation  [tex]3{x}^{2}_{}-12x\,+6\,=0[/tex]

[tex]{x}^{2}_{}-\,4x\,+\,2\,=\,0[/tex]

[tex]{\left(x\,-\,\frac{4}{2'}\,\right)}^{2}-\,4\,+\,2\,=\,0[/tex]

[tex]{\left(x\,-\,2\right)}^{2}\,-\,4\,+\,2\,=0[/tex]

[tex]{\left(x\,-\,2\right)}^{2\,}-\,2\,=\,0[/tex]

La forme canonique est donc  [tex]{\left(x\,-\,2\right)}^{2\,}-\,2\,=\,0[/tex]

Le problème c'est la où j'ai laissé le petit apostrophe ( le 2) , je ne comprend pas pourquoi on met 2 en facteur et non pas  1 ou rien.

C'est-à-dire : [tex]{\left(x\,-\,\frac{4}{1'}\,\right)}^{2}-\,4\,+\,2\,=\,0[/tex]

              ou :  [tex]{\left(x\,-\,4\right)}^{2}-\,4\,+\,2\,=\,0[/tex]

Merci d'avance.

Dernière modification par sassin (14-08-2010 16:51:04)

sassin

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Re : Forme canonique [Résolu]

Escusez moi je viens juste de me rendre compte de mon erreur.

yoshi

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Re : Forme canonique [Résolu]

Bonjour,

Bienvenue sur BibM@th...
Rien de tel qu'une démonstration littérale pour comprendre.
Donc on veut factoriser le polynôme du 2nd degré [tex]ax^2+bx+c[/tex] : on veut l'écrire sous la forme :
[tex]ax^2+bx+c=a(x-x')(x-x'')[/tex]
Pour cela :
1. Si a est différent de 1, alors on commence par mettre a en facteur :
    [tex]ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a} x +\frac{c}{a}\right)[/tex]
2. Et on se penche sur l'expression : [tex]x^2+\frac{b}{a} x[/tex]
    Là, on considère que  [tex]\frac{b}{a} x[/tex] est un double produit , et on se pose cette question :
    [tex]\frac{b}{a}x=2 \times x \times ?[/tex]
    La réponse à la question est que le ? doit être remplacé par  [tex]\frac{b}{2a}[/tex] : on divise par [tex]\frac{b}{a}[/tex]2, ainsi le double produit correspond...
3.  Mais [tex]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2+\frac{b}{a} x+\frac{b^2}{4a^2}[/tex], donc [tex]x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}[/tex]

4. On a donc : [tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right][/tex]
    Et nous avons obtenu l'écriture du polynôme sous fa forme canonique.
    C'est cela qui est discuté pour savoir l'existence ou non de racines, en 1ere ES ou S.

5. Donc, dans ton cas c'est l'apostrophe 2' qui est juste.
    Ru vois bien qu'avec le 1', si tu développes, tu ne retrouves pas ton point de départ, mais [tex]x^2-16x+14[/tex].

@+

[EDIT]
ok !
Est-ce à dire que tu as trouvé pourquoi c'était faux ?
Si oui, alors c'est bien, mais je laisse quand même mon explication. Peut-être te sera-t-elle utile quand même...

Dernière modification par yoshi (14-08-2010 18:57:08)

sassin

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Re : Forme canonique [Résolu]

ok merci Yoshi mais voila je suis sur un autre exercice et je rencontre un petit problème.

ex 2: Donner la forme canonique de [tex]-\,2{x}^{2}+\,3x\,-\,1\,[/tex]

[tex]-2{x}^{2}+\,3x\,-\,1\,=\,-2\,\left({x}^{2}-\frac{3}{2}x\,+\,\frac{1}{2\,}\right),\,or\,{\,x}^{2}-\,\frac{3}{2}x\,=\,{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}-\,\frac{9}{16}\,donc\,[/tex]

[tex]-2{x}^{2}+\,3x\,-\,1\,=\,-2\,\left({\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{2}-\frac{9}{16}+\frac{1}{2}\right)\,=\,-2\,\left({\left(x\,-\,\frac{3}{4}\right)}^{2}-\frac{1}{16}\right)\,=\,-2\,{\left(x\,-\,\frac{3}{4}\right)}^{2}+\,\frac{1}{8}[/tex]

La forme canonique est  [tex]-2{\left(x\,-\,\frac{3}{4}\right)}^{2}+\,\frac{1}{8}[/tex]

Je ne comprend pas à la fin comment on passe de  [tex]-\frac{1}{16}[/tex] à  [tex]-\frac{1}{8}[/tex].

yoshi

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Re : Forme canonique [Résolu]

Re,

Il ne faut pas perdre de vue que :
[tex]-2x^2+3x-1=-2\left[\left(x-{3 \over 4}\right)^2-{1 \over 16}\right][/tex]  point final...
Aller plus loin en développant par distribution du -2 sur la parenthèse et la fraction ne fera que te compliquer l'existence et t'empêchera de factoriser aisément (c'est faisable, mais pffff... *), pour moi ce n'est plus la forme canonique.
Dans mes crochets je repère facilement la différence de 2 carrés parce que : [tex]\frac {1}{16}=\left(\frac{1}{4}\right)^2[/tex], pas dans ta dernière forme...

Enfin pour répondre à ta question [tex](-2)\times\left(-\frac{1}{16}\right)=+\frac{1}{8}[/tex] et non -, s'pas...

@+

(*)
[tex]-2\left(x-{3 \over 4}\right)^2+{1 \over 8}={1 \over 8}-2\left(x-{3 \over 4}\right)^2=\left(\frac{1}{2\sqrt 2}\right)^2-(\sqrt 2)^2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{2\sqrt 2}\right)^2-\left[\sqrt 2\left(x-\frac{3}{4}\right)\right]^2[/tex]
Simple et agréable comme différence de 2 carrés, hein ?...

sassin

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Re : Forme canonique [Résolu]

Merci Yoshi je comprend maintenant qu'il faut mieux s'arrêter aux crochets pour ne pas se compliquer la tâche inutilement.

sassin

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Re : Forme canonique [Résolu]

Bonjour, je rencontre un problème sur un exercice .La consigne est de donner le tableau des variations du trinôme f(x) =  [tex]2\,{x}^{2}+\,x\,-\,1[/tex].
Donc logiquement, je calcul le discriminant et je trouve 9 , on a donc 2 solutions (x1 et x2) or je trouve dans la

correction du livre qu'il calcul directement x= [tex]-\frac{b}{2a}[/tex].

Pourriez vous m'éclaircir s'il vous plaît parce que là je suis perdu.

yoshi

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Re : Forme canonique [Résolu]

Re,

Je comprends que tu sois surpris : quelque chose t'échappe. Tu fais la confusion entre signe du trinôme et sens de variation.
Hmm... As-tu fais ta 1ere S (ou ES) et révises-tu pour ta Term ? Ou : es-tu en 2nde et prépares-tu la classe de 1ere ?Si tu as fait ta ere, tu as dû voir que le sens de variation s'obtient à partir du signe de... la dérivée !
La dérivée f'(x) de f(x)=ax²+bx+c n'est autre que f'(x)=2ax+b qui s'annule pour [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex] et le signe de f'(x) (laquelle f'(x), en un point d'abscisse donnée, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative en ce point) : - décroissance, + croissance...

En classe de 2nde on apprend que le sommet d'une parabole d'équation y = ax²+bx+c a pour abscisse   [tex]x=-\frac{b}{2a}[/tex], et qu'en ce point la tangente à la courbe est horizontale et que la courbure change...
En fait,
si le a est <0, ta parabole a le "sommet" en haut, elle a une en forme en cloche :
|  -oo                        [tex]-\frac{b}{2a}[/tex]                                 +oo|
|---------------------------|---------------------------------|
|          croissance         |           décroissance           |

si le a est >0, elle a une forme en U (ouverture vers le haut) et le "sommet" est en bas, c'est le point le plus bas de la courbe :
|  -oo                        [tex]-\frac{b}{2a}[/tex]                                 +oo|
|---------------------------|---------------------------------|
|        décroissance       |           croissance               |

Essaie avec ta calculette graphique : trace les courbes, et regarde !

Alors tu arrives donc à quoi avec tes racines ?
2x²+x-1 = (x+1)(2x-1)
Voyons ça :
x       |-oo              -1           1/2          +oo|
-------|----------------|-----------|------------- |
f(x)    |         +        0      -      0      +         |

pour x<-1            f(x)>0 donc la courbe est au dessus de l'axe des abscisses,
pour -1<x<1/2    f(x)<0 donc la courbe est au dessous de l'axe des abscisses,
pour x>1/2         f(x)>0 donc la courbe est au dessus de l'axe des abscisses.
Ça t'apprend encore que tu traverses l'axe des abscisses en - 1 +1/2...
Bon, tu pourrais en déduire quand même le sens de variation, mais ce n'est pas une méthode rationnelle...
Je t'ai matérialisé le sommet à -1/4 :
                     
Ça te va ?

Dernier point : la prochaine fois, ouvre une autre discussion, n'entasse pas tout dans la même.
Règle d'or pour s'y retrouver : Un sujet = Une discussion...

@+

PS
Un bon type de bouquin pour bosser seul : dans la série Interros des Lycées Ed Nathan.
J'ai chez moi 1ES, 1S, TS ; je les trouve très bien. Un rappel de cours, des morceaux d'interros réellement données, avec le temps estimé nécessaire pour le faire et des corrigés détaillés (très) ce qui est appréciable.
Va jeter un œil chez ton libraire préféré, pour te faire une idée...

sassin

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Re : Forme canonique [Résolu]

ok merci je comprend et pour répondre à tes questions, j'ai fais ma 1ère s et je me prépare pour ma terminale. Parce que à vrai dire avec le prof que j'ai eu l'année dernière, j'ai rien appris.

yoshi

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Re : Forme canonique [Résolu]

Bonjour,

Alors, raison de plus pour aller un œil sur la série "Interros des lycées" aux Ed. Nathan...
Sinon, pas de panique, on est là !...

@+