Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bolzano

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Théorème de Nyquist-Shannon

Bonjour, S'il vous plaît,
j'aimerais que quelqu'un me montre comment démontrer le théorème de Shannon :

Soit m: [tex]\mathbb{R} --> \mathbb{R}[/tex]
On note M sa transformée de Fourier.
On dit que m est à spectre bornée si il existe
[tex] W_M > 0 /  \forall |w|>W_M \Rightarrow M(w)=0 [/tex]
Montrez que
Si [tex] f_e>2f_M  (avec f_M=\frac{W_M}{2\pi})[/tex]
alors
[tex] m(t)=\sum_{n={-\infty}}^{+\infty} m(nT_e)\frac{sin[W_M(t-nT_e)]}{W_M(t-nT_e)}\,[/tex]
ou [tex]T_e=\frac{1}{f_e}[/tex]

Merci.

thadrien

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Re : Théorème de Nyquist-Shannon

Salut,

Pour démontrer cela, il faut passer par les distributions.

Tout d'abord, une définition. On appelle signal échantillonné de x le signal [tex]\tilde{x}(t) = \sum x(n T_e) \cdot \delta(t-nT_e)[/tex], avec [tex]\delta(t)[/tex] le pic de Dirac.

Deux points importants :
1/ [tex]\tilde{x}(t)[/tex] contient tous tes échantillons.
2/ [tex]\tilde{x}(t) = x(t) \ctimes \sum \delta(t-nT_e)[/tex]

Tu obtiens à partir du point 2 : [tex]\tilde{X}(f) = X(f) * f_e \sum \delta(f - n f_e)[/tex] avec * le produit de convolution.

Ici, je te conseille de faire une représentation graphique de [tex]\tilde{X}(f)[/tex], en tenant compte du fait que le spectre de x est borné.

Pour retrouver le spectre original, il te suffit alors de filtrer ton signal échantillonné. Ce qui, après quelques manipulations, te donne la relation recherchée.