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fabricen26

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theorie des ensembles

salut a vous! Mon problème est le suivant : Montrer qu'un ordinal O est limite si et seulement si il existe un autre ordinal Z tel que O=w.Z   (w est l'ensemble des entiers). Merci d'avance

essai

Invité

Re : theorie des ensembles

Bonjour,

Ne connaissant rien aux ordinaux, je viens de passer toute la matinée à les étudier et je pense avoir trouvé une réponse mais prends-là avec des pincettes...

Pour le sens direct :
Si O est limite  alors il n'admet pas d'élément maximal.
Par division euclidienne (elle existe en terme d'ordinaux) : O = w.Z + d où d<w
Si d n'est pas nul alors comme d est fini, d admet un élément maximal que nous notons b.

En terme d'isomorphisme on sait que w.Z + d est le même que : ({0},w.Z) U ({1},d) muni de la relation d'ordre stricte suivante : (i,j)<(i',j') ssi i<i' ou (i=i' et j<j').
Dès lors, on voit de suite que les éléments de ({1},d) sont plus grands que ceux de ({0},w.Z) et que par conséquent w.Z+d admet un élément maximal qui est (1,b). Donc O n'est pas maximal.

C'est absurde donc d=0...

Pour le sens indirect :
w.Z est isomorphe à ({0},w) U ({1},w) U ... U ({Z-1},w) (union qui ne finit pas si Z n'est pas fini...)
Si w.Z possède un élément maximal ({k},b) alors par définition de la relation d'ordre précedente et qui s'applique ici on a donc que ({k},b) est maximal de ({k},w) donc b maximal de w. C'est absurde car w est limite.
Donc w.Z est limite.

Je pense que ça marche mais bon, comme je l'ai dit, rien n'est moins sûr...J'espère au moins que ça donnera des pistes !

A plus