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#1 24-05-2010 09:09:25
- MIAS2
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Intégrale impropre
Bonjour ,
j'ai un petit problème avec la convergence de cette intégrale [tex]\int_{\frac{-\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} ln(1+sin(x))dx [/tex].
Déjà cette intégrale est impropre en [tex]\frac{-\pi}{2}[/tex] donc j'ai encadré [tex] 1 + sin(x)[/tex] par [tex] 0[/tex] avec l'inégalié stricte et par [tex] 2 [/tex] avec l'inégalité large et comme la fonction [tex] ln(x)[/tex] est croissante sur [tex] \ R^*_+ [/tex] donc [tex] ln(1+sin(x))[/tex] est majoré par [tex] ln(2) [/tex] donc j'intègre [tex] ln(2) [/tex] sur [tex] ]\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] [/tex] et donc j'obtient [tex] 0[/tex] et donc j'en déduit que [tex]\int_{\frac{-\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} ln(1+sin(x) dx [/tex] converge.
Pensez-vous que ce raisonnement est correcte ??
Merci .
Dernière modification par MIAS2 (24-05-2010 10:38:11)
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#2 24-05-2010 11:30:25
Re : Intégrale impropre
Salut,
Non. Tu viens de faire une erreur hyper classique : tu as majoré ta fonction à intégrer, mais tu as oublié de la minorer.
Le théorème de majoration ne fonctionne que pour les fonctions positives, autrement dit, déjà minorées par 0.
A+
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#3 24-05-2010 11:57:40
- MIAS2
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- Messages : 56
Re : Intégrale impropre
Salut,
Non. Tu viens de faire une erreur hyper classique : tu as majoré ta fonction à intégrer, mais tu as oublié de la minorer.
Le théorème de majoration ne fonctionne que pour les fonctions positives, autrement dit, déjà minorées par 0.
A+
Merci thadrien pour cette remarque importante , mais sinon je ne trouve pas une autre façon de déterminer la nature de cette intégrale , aurait-tu une idée pour ça ?
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#4 24-05-2010 12:39:23
Re : Intégrale impropre
Tu fais un développement asymptotique de ta fonction en [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex].
Tu poses [tex]x = -\frac{\pi}{2} + h, h > 0[/tex].
[tex]\ln(1 + \sin(x)) = ... = \ln(\frac{h^2}{2} + o(h^2)) = ... = 2 \ln(h) - \ln(2) + o(h)[/tex].
[tex]\lim_{h \to 0} \sqrt{h} \ln(1 + x)) = 0[/tex]
D'après le critère de Riemann, ton intégrale converge.
P.S : Je t'invite à refaire le calcul complètement.
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