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#1 19-04-2010 23:04:54
- bolzano
- Membre
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- Messages : 18
Suites et decomposition arithméthique.
Bonjour,
S'il vous plaît, quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cet exercice?
voilà l'énoncé :
[tex]U_n=\frac{n^2+9n+5}{(n+1)(2n+3)(2n+5)(n+4)}[/tex]
Déterminez a, b, c, d tels que :
[tex]U_n=\frac{a}{(n+1)} + \frac{b}{(2n+3)} + \frac{c}{(2n+5)} + \frac{d}{(n+4)}[/tex]
Déduisez en [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} U_n[/tex]
Merci d'avance.
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#2 20-04-2010 00:18:16
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : Suites et decomposition arithméthique.
Salut,
hum, joli sujet pour insomniaque. Joli, mais simple donc ...
Alors, on calcule facilement [tex]a=-d=-\frac13,\;b=-c=-\frac52[/tex].
La méthode ? Pour [tex]a[/tex] par exemple, tu calcules de deux manières différentes [tex](n+1)U_n[/tex] puis tu pose [tex]n=-1[/tex].
Ensuite, tu remarques le "truc" suivant :
[tex]U_0 = -\frac13\left(\frac14-1\right) - \frac52\left(\frac15-\frac13\right)[/tex]
[tex]U_1 = -\frac13\left(\frac15-\frac12\right) - \frac52\left(\frac17-\frac15\right)[/tex]
[tex]U_2 = -\frac13\left(\frac16-\frac13\right) - \frac52\left(\frac19-\frac17\right)[/tex]
[tex]U_3 = -\frac13\left(\frac17-\frac14\right) - \frac52\left(\frac{1}{11}-\frac19\right)[/tex]
et tu déduis la somme aisément.
Tu devrais trouver, sauf erreur, quelque chose comme [tex]\frac13\left(1+\frac12+\frac13\right)+\frac52\times \frac13=\frac{13}{9}[/tex].
Bis bald
Dernière modification par freddy (20-04-2010 06:07:47)
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