exo système de numération [Résolu]

nadia1968 · 13-04-2010 23:18:51

Bonjour,
j'ai séché sur cet exercice, prière de m'aider à le faire.
Trouver les nombres a, b, x de telle sorte que (aa)²=bbb dans le système de numération à base x.
Merci d'avance.

yoshi · 14-04-2010 08:45:42

Bonjour nadia1968,

Et bienvenue sur Bibm@th...

prière de m'aider à le faire.

Hmmmph... Et si on ne veut pas obéir, tu fais quoi, tu nous envoies l'armée ?
Parce que le choix de l'expression "prière de" est plutôt malheureux (j'ose espérer que c'est bien le cas) : c'est ce qu'on dit quand on donne un ordre poliment à quelqu'un : prière de n'est pas vraiment une prière...

En attendant, je vais quand même jeter un œil sur ton truc, parce qu'il est intriguant.

@+

freddy · 14-04-2010 09:38:45

Slt,

ouais, on devrait a minima dire: "je vous remercie par avance de l'aide que vous auriez la gentillesse de bien vouloir m'apporter pour trouver une idée de solution ...", il y a la même demande "impérieuse", mais emballée dans de plus jolies fleurs de courtoisie ! ...

Mais comme dit Yoshi, l'intrigue du sujet l'emporte sur l'inc ... Donc on regarde ...

Salut à toi, ami Yoshi !!!

yoshi · 14-04-2010 10:57:57

Salut,

Un grand bonjour particulier à toi freddy...
Bon, j'ai réfléchi un petit peu, on doit obligatoirement se trouver dans cette configuration

   aa

 * aa

--------

   yb

  yb

--------

  bbb

La retenue maximum de la somme de 2 nombres à 1 chiffre dans n'importe quelle base x, est 1...

Premier point : a². On a deux cas possibles : a² =b ou [tex]a^2=\overline{1b}^x=x+b[/tex]
Autre point intéressant : la somme y+b. Si y+b=b, alors y = 0, ce qui est impossible,
donc [tex]y+b=\overline {1b}^x=x+b[/tex]

Mais là maintenant le bât blesse, puisqu'on arrive à y =x et x étant la base, c'est impossible.
Conclusion : je dois faire une raisonnement de raisonnement, mais où ?

Dans l'attente que l'idée me vienne, j'ai mis en route une programmation en python (de la base 2 à la base 16), pour le fun parce que j'ai la flemme de tester tous les cas à la main ;-)

@+

[EDIT]
La programmation confirme mes craintes...
Pas d'autre solution que 00 !
Pt'êt que mon prog est buggué aussi...

Dernière modification par yoshi (14-04-2010 12:39:28)

freddy · 14-04-2010 13:55:36

Re,

Yoshi, je pense que la base [tex]x[/tex] n'est pas entière, mais un nombre réel particulier, genre nombre d'Or.

Qu'en dis tu ?

yoshi · 14-04-2010 14:56:11

Re,

Alors, ça n'a pas de sens une base de numération est forcément composée d'entiers naturels...
Je vais vérifier.

@+
[EDIT]
Vérifications faites, effectivement il semblerait bien que des bases "atypiques" existent, telle ta "base d'or"...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_d%27or
Je doute quand même un peu que l'auteur de l'exercice lance ses ouailles là-dedans, d'autant qu'il est rangé dans "Collège-Lycée"...

Bref, j'en reviens à mon raisonnement : quelqu'un y voit-il une faille ?
J'ai testé avec mon prog python jusqu'à la base 32...

freddy · 14-04-2010 17:23:14

Salut,

je trouve que a et b doivent vérifier sous la base X :

[tex]a^2{X}^{2}+(a^2+a^2)X+{a}^{2}=b{X}^{2}+bX+b[/tex]

soit [tex]a^2(X+1)^2=b(X+1)^2-bX[/tex]

Reste à trouver dans quelle base on a ce magnifique résultat.

Je pense comme Yoshi, qu'en fait X est quelconque et que a=b=0 ...

Et vous ?

le raisonnement de Yoshi me semble bon, et la conclusion aussi !

Dernière modification par freddy (15-04-2010 16:22:38)

nadia1968 · 19-04-2010 22:24:11

Bonjour,
si j'étais un peu maladroite en formulant ma question, ce n'était pas par manque de courtoisie ou de politesse, c'est que , par le fait que je ne sois pas française, je ne maitrise pas bien la langue tout simplement, je vous présente toutes mes excuses .
Je viens en effet de démontrer que la seule possibilité est que a=0 et b=0 avec une base qcq X, autrement ce n'est pas possible, et ceci en utilisant le théorème de Gauss en arithmétique, je m'explique:
a²(x+1)²=b(x²+x+1), donc (x+1)²divise b(x²+x+1) or (x+1)² et x²+x+1 sont premiers entre eux(on peut facilement le montrer), donc selon le théorème de Gauss (x+1)² divise b, par conséquent (x+1)² <ou égal à b, mais b<x (car le chiffre est tjrs <base) , alors (x+1)²<x, ce qui n'est pas vrai.
Et l'on conclut alors.
J'ai pu assi constaté qu'on peut trouver le résultat en remarquent que x divise a²-b et poser a²-b=kx dans l'équation de départ et conclure de la même manière.
Merci d'avoir pri la peine de me lire, et m'encourager.
Nadia.

Dernière modification par nadia1968 (19-04-2010 22:26:03)

freddy · 19-04-2010 22:28:43

Bonsoir Sara,

bravo pour la démonstration !

Bb

nadia1968 · 20-04-2010 00:09:57

Bonsoir,
grand merci mon ami.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-04-2010 23:18:51

exo système de numération [Résolu]

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