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yoshi

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Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Hello,

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12   14    16    18
20   22    24    26   28
...............................
Quelle est la somme des nombres de la 28e ligne ?
n étant le n° de ligne, y a-t-il une formule permettant de connaître :
* le 1er nombre de la n_ième ligne ?
* la somme des nombres de ladite n_ième ligne ?

Comme dirait freddy :
        Enjoy !!!

A vous lire...

thadrien

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

On gagne quoi si on trouve la bonne réponse ? :-)

yoshi

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Pfff...

Qu'il est vénal !
Allez, je me fends d'une récompense importante :

Tu gagnes... à être connu !  :-))
Bin après, c'est la voie royale : direction l'Elysée...

Ne donne pas la réponse ou alors utilise un pseudo-spoiler : ajouter des lignes blanches jusqu'à cacher la réponse...
Ou alors la balise [color] en supprimant l'espace en trop [ color=#DEDFDF] ton baratin[/color]

@+

Golgup

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Hi !

on supose Un 1er nbre n-ieme ligne et U0=0 puis Vn somme ligne et V0=0

puis  Un=n(n-1) puis Vn=2Un+n puis U28=28.27:756 puis V28=2.756+28:1540

Tcho-Tcho

yoshi

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Re,

Rien compris... T'as appris le chinois depuis ton dernier passage ? ;-)

@+

Golgup

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Autant pour moi  j'ais fais une erreur de recopiage! Vn=Un(n+1) donc V28=756*29=21924

!!

Golgup

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

(J'ai écrit vite, c'est parce que je dois me dépêcher!)

++

Golgup

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Voila,

Sorry pour le torchon, Je recapèpète depuis le bédu:

J'écrit la suite Un qui donne le nième premier nombre de la ligne et alors Un=n(n-1) : U0=0

D'ou U28=28*27=756

puis, deuxième point,

J'écrit la suite Vn qui donne la somme des nombres de la niéme ligne, et alors Vn=Un(n+1)=n(n²-1)

D'ou V28=28(28²-1)=21924

C'est tout bon?

thadrien

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Salut,

Pour Vn, tu as oublié de tenir compte de l'augmentation des nombres sur la ligne.

Golgup

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Hi,

non je n'ais rien oublié, tout est juste, mais pourquoi yoshi se manifeste partout, sauf ici??

+

Dernière modification par Golgup (17-04-2010 12:42:58)

yoshi

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Re,

1. Parce que je suis partout et nulle part...
2. Parce que je voulais assurer un certain temps de vie à l'énigme
3. Parce que j'ai adapté ce problème d'un autre existant et que je n'avais pas encore cherché la solution.
4. Je me mets à la recherche maintenant...

Voili, voilou :
Le 1er nombre de la ligne n est bien n(n-1).
Procédons proprement :
* J'ai vérifié pour des valeurs simples
* Je suppose vrai pour n
* Je cherche à prouver l'héritage : j'attends n(n+1) pour la ligne n+1
   Par construction, il y a 2 nombres pairs consécutifs sur la ligne 2, 3 sur ligne 3,... n sur la ligne n.
   Le 1er nombre de la ligne suivante est donc n(n-1)+2*n = n²-n+2n = n²+n = n(n+1)
C'est bon.

Somme des nombres d'une ligne n : j'appelle a le 1er nombre de cette ligne par commodité.
Le n-ième nombre de la ligne s'écrit donc a+2*(n-1)
La somme est donc :
[tex]S =a + (a+2)+ (a+4)+...+ (a+2*(n-1)) =\underbrace{a + a + a + ... + a}_{n fois}+ 2+ 4 + 6 +... +2(n-1)[/tex]

[tex]S = na + 2(1 + 2+ 3 ... +(n-1)) =na + n(n-1)= n^2(n-1)+n(n-1)=(n-1)(n²+n)=n(n-1)(n+1)=n(n^2-1)[/tex]

V28 = 28 * 27 * 29 = 21924

C'est bon ? T'as ta réponse ? Satisfait (ou remboursé) ?

@+

Golgup

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Terre à tribord!! Houra!  Tout doute est ôté!

++

freddy

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Salut yoshi,

joli sujet, bien casse tête. Bon, j'ai trouvé un formalisme qui me convient.

On a une suite doublement indiciée telle que :

[tex]U_{n,n}=2\times \left(\sum_1^n k - 1\right)=(n-1)(n+2)[/tex]

[tex]\forall\, 1 \leq p \leq n\;,U_{n,p}=U_{n-1,n-1}+2\times p[/tex]

[tex]\sum_{p=1}^n U_{n,p}=n(n-2)(n+1) + n(n+1) = n\times \left(n^2-1\right)[/tex]

Dernière modification par freddy (19-04-2010 16:36:14)

yoshi

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Re : Un triangle arithmétique de nombres pairs consécutifs

Re,

Content que ça t'ait plu...
Je t'en trouverai d'autres...

@+