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yoshi

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Empilement de cubes

Salut,

Mon triangle arithmétique ayant intéressé Golgup et Thadrien (liste non exaustive), je soumets à leur sagacité, ainsi qu'à celle de tout visiteur, un jeu de cubes de mon cru.
L'idée m'en était venue d'un exercice d'empilement de cubes d'un manuel de 6e :

On fabrique une série d’empilement de cubes dont voici, ci-dessus, les 3 premiers.
Dessiner, en perspective cavalière, l’empilement n° 4.
Indiquer le nombre de cubes des empilements 2, 3 et 4.

J'avais donc ajouté pour des élèves de 3e, avides de recherche : quel est le nombre de cubes de l'empilement n° 10 ? n° 20 ?
Puis pour le niveau TS, j'avais terminé par : Quel est le nombres de cubes de l'empilement n° n ?

Bon courage.

@+

nerosson

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Re : Empilement de cubes

Salut,
Prenons les "couches", (je dis bien les "couches", pas les empilements) successivement :
Première couche : 1 cube,
Deuxième couche : 3 cubes, soit 2 cubes de plus que la précédente,
Troisième couche : 6 cubes, soit 3 cubes de plus que la précédente,
Quatrième couche : 10 cubes, soit 4 cubes de plus que la précédente,
Cinquième couche : 15 cubes, soit 5 cubes de plus que la précédente,
Sixième couche : 21 cubes, soit 6 cubes de plus que la précédente,
etc...etc...
Le nombre de cubes dans les couches successives augmente de 2, 3, 4, 5, 6, etc.
Donc :
Premier empilement : 1
Deuxième empilement : 4
Troisième empilement : 10
Quatrième empilement : 20
Cinquième empilement : 35
Sixième empilement : 56
etc...etc...
En partant du fait que le nombre dans chaque couche augmente arithmétiquement, un matheux meilleur que moi trouvera sûrement la formule donnant le nombre de cubes pour chaque empilement.

Dernière modification par nerosson (17-04-2010 16:02:56)

thadrien

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Re : Empilement de cubes

Salut,

Grillé par nerosson pour l'établissement de la suite et de la formule de récurrence, qui est l'étape la plus dure.

Pour le calcul, je donnerai la méthode... une fois que les autres auront cherché un peu !

freddy

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Re : Empilement de cubes

Salut,

Ouais, joli sujet encore.

Pour la formule, on doit trouver : [tex]\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}[/tex]

Je laisse à thadrien le soin de montrer !

yoshi

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Re : Empilement de cubes

Re,

Ma démo, qui commence à dater, fait appel à la somme des carrés des nombres (laquelle formule est à redémontrer pour ceux qui ne la connaissent pas par cœur -ce qui était mon cas- et ce n'est pas évident à trouver) et la somme (classique celle-là) des entiers consécutifs...

@+

thadrien

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Re : Empilement de cubes

Salut,

La technique, qui a été donné il y a quelques mois sur ce forum (je crois d'ailleurs que c'est Yoshi qui l'a donnée), pour calculer [tex]\sum{P(N)}[/tex] avec P(N) un polynôme de degré d, consiste à trouver un polynôme Q(N) de degré d+1 tel que [tex]Q(N+1)-Q(N)=P(N)[/tex]. (Je note N le polynôme identité et n le nombre.)

Pour cela, on pose [tex]Q(N) = a_{d+1} N^{d+1} + ... + a_0[/tex] et, par identification dans l'égalité précédente, on aboutit à un système d'équations que l'on résous pour obtenir les coefficients.

On obtient ainsi une somme télescopique, qui se simplifie aisément.