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bolzano

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suites de cauchy

Bonjour à tous!
S'il vous plaît, quelqu'un pourrait m'aider à
démontrer que toute suite de CAUCHY converge, sans utiliser les suites extraites?
Merci d'avance.

freddy

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Re : suites de cauchy

Salut bolzano,

j'ai demandé à Weierstrass, il m'a suggéré de te renvoyer sur ce lien : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … suite.html

Merci encore à lui.

Enjoy

bolzano

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Re : suites de cauchy

Merci freddy,
j'ai lu ce qu'il y a sur la page, mais je n'ai pas pu trouver la réponse à ce que je voulais. Ils affirment juste que
toute suite de Cauchy est convergente mais il ne le démontre pas!
j'ai vraiment besoin de la démonstration, mais sans utilisé le théorème de Bolzano-Weierstrass
Merci de m'apporter une aide

Fred

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Re : suites de cauchy

Bonsoir,

  Pourquoi tu as besoin de démontrer la convergence des suites de Cauchy sans utiliser Bolzano-Weierstrass. On rentre dans les problèmes de la construction des nombres réels. Qu'est-ce que [tex]\mathbb R[/tex] pour toi?
Quelles sont les propriétés que tu supposes connues?

Pour répondre à ta question, voici comment on peut faire.
[tex](u_n)[/tex] est une suite de Cauchy, donc bornée.
Soit [tex]v_n=\sup_{p\geq n}u_p[/tex].
[tex](v_n)[/tex] est une suite décroissante et minorée. Elle converge vers un certain réel a.
Montrons que [tex](u_n)[/tex] converge aussi vers a.
Soit [tex]\varepsilon>0[/tex]. Il existe un entier [tex]n_1[/tex] tel que
[tex]p,q\geq n_1\implies |u_p-u_q|<\varepsilon.[/tex]
Il existe aussi [tex]n_2\geq n_1[/tex] tel que [tex]|v_{n_2}-a|\leq \varepsilon[/tex].

Par la définition du sup, on peut trouver [tex]p\geq n_2[/tex] tel que
[tex]|u_p-v_{n_2}|<\varepsilon[/tex].
Par l'inégalité triangulaire, pour tout [tex]q\geq p[/tex], on a
[tex]|u_q-a|\leq |u_q-u_p|+|u_p-v_{n_2}|+|v_{n_2}-a|\leq 3\varepsilon[/tex]

Fred.

bolzano

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Re : suites de cauchy

Merci Fred,
C'est exactement ce dont j'avais besoin! Merci beaucoup
En fait c'est un devoir, il fallait utiliser que les notions connues et le théorème de Bolzano-Weierstrass ne faisant pas partie de ces notions je ne pouvais pas l'utiliser.
Pour la question concernant [tex]\mathbb{R}[/tex]
On admet que [tex]\mathbb{R}[/tex] est un corps ordonnée, est une extension de [tex]\mathbb{Q}[/tex], et toute partie non vide majorée(resp minorée) de [tex]\mathbb{R}[/tex] admet une borne supérieur(resp une borne inférieure).

Merci encore!!!