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RBourgeon

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Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Bonjour à tous les membres de BibMath !

Je m'intéresse aujourd'hui aux probabilités conditionnelles, un domaine sur lequel je ne m'étais pas penché jusqu'alors. Et le fait est que je bute sur un exercice qui paraît pourtant élémentaire ! Je vous en donne l'énoncé et je vous explique mon problème ensuite :

"Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 3 bleues et 2 rouges. On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.

Calculer la probabilité que la seconde boule soit BLEUE sachant que la première est rouge".

Mon analyse du problème :

Je commence par exploiter les hypothèses :  [tex]P\left(B\right)\,=\,\frac{3}{5}[/tex] et  [tex]P\left(R\right)=\frac{2}{5}[/tex] découlent des conditions du problème ;

je dois donc ici calculer  [tex]{P}^{}_{R}\left(B\right)[/tex]

Étant pour l'heure novice dans le domaine, je ne me pose pas trop de questions (à part de me demander si les deux évènements sont indépendants, ce qui n'est pas le cas ici puisque le tirage se fait sans remise) et j'applique la formule du cours qui me donne :

[tex]{P}^{}_{R}\left(B\right)\,=\,\frac{P\left(R\cap B\right)}{P\left(R\right)}[/tex]

C'est ici que je bloque !!! Le numérateur (probabilité de R inter B) est selon moi nul puisque les évènements "la boule tirée est rouge" et "la boule tirée est bleue" sont incompatibles !!
Cela voudrait donc dire que la probabilité demandée demandée dans l'énoncé serait nulle ; or pourtant il suffit de penser à la situation pour se rendre compte que non...

Comment puis-je calculer la réelle valeur de cette probabilité conditionnelle (et tout particulièrement la valeur de l'intersection au numérateurs) ?

Merci par avance pour vos éclaircissements.

Robin

yoshi

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Salut,

Je me lance sur la pointe des pieds, parce que les probas, c'est un gros manque dans ma formation et que je me suis promis d'y remédier.
1. Ce ne serait pas plutôt la probabilité que sur tous les tirages possibles, on ait dans l'ordre R et B ?
    En ce cas, 3 tirages répondent à la condition sur 10 possibles : [tex]P(R\cap B)=0,3[/tex]
2. Tu sais que [tex]P(R)=\frac{2}{5}=0,4[/tex]
3. On a donc : [tex]\frac{P(R \cap B)}{P(R)}=\frac{0,3}{0,4}=\frac{3}{4}[/tex]

Sachant que la 1ere boule est Rouge, je sais qu'il reste dans l'urne 4 boules dont l'une est Rouge : j'ai 3 tirages possibles sur 4, présentant une boule Bleue, et je retrouve ma proba ci-dessus...

Freddy, ou autre membre ou "visiteur" ? Qu'en pensez-vous ?

@+

PS
J'ai fait du dénombrement en arbre, et je suis preneur des calculs...

RBourgeon

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

La résolution me semble exacte, mais je n'ai pas compris ton numéro 1 : Quel est l'univers que tu établis ? Comment sais-tu qu'il y a exactement 10 tirages possibles ?

parce que les tirages possibles sont (R , B) , (B , R) (R, R) et (B , B ) mais quand je veux faire intervenir le nombre de boules de chaque couleur ça se complique...

freddy

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Salut,

en proba, le point de départ de toute analyse est la détermination de l'univers des possibles, le fameux  [tex]\Omega[/tex]  qui décrit l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire.

Dans ton cas, c'est l'ensemble des couples de boules, tirées successivement et sans remise de la forme (B1, B2)

Donc l'événement : "Une Bleue sachant que la première est Rouge" revient à regarder l'ensemble des couples tq B1 = Rouge et B2 = Bleu !

OK ? ...  dis moi combien tu trouves, je te corrigerais si besoin.

Ciao

Ouaip Yoshi !  Bravo, tu démarres bien ! T'as compris qu'à la base, faut dénombrer. Ensuite, on a des résultats qui permettent de faire des raccourcis, mais pour un début, c'est prometteur.

Question subsidiaire : quelle serait la proba. si les tirages étaient faits avec remise !

Dernière modification par freddy (14-04-2010 17:31:50)

RBourgeon

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Très bien, je trouve effectivement la probabilité de 3/4 mais qu'en est-il de la résolution par le calcul plutôt que par un arbre de dénombrement ? En effet, selon toute apparence il faut utiliser ici la formule de probabilité conditionnelle. Que faire alors de ce numérateur P (B inter R) comment l'interpréter, que signifie-t-il vraiment et comment Yoshi a-t-il pu trouver 0,3 ?

Je me demande ce que signifie vraiment (B inter R) ici. Il signifie que les deux boules tirées sont de couleurs différente ? Dans ce cas là comment le déterminer ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Re,

Je l'ai dit j'ai fait du dénombrement.
Mon univers se compose de dix tirages différents
B B B R R
B B R B R
B B R R B
B R B B R
B R B R B
B R R B B

R B B B R
R B B R B
R B R B B

R R B B B

Je constate que 3 tirages répondent à la demande R suivi de B.
Mais si là, c'était faisable, ce ne l'est pas toujours donc ce n'est pas recommandé, donc il faut le faire avec les outils de dénombrement de l'analyse combinatoire.
Il me semble, freddy rectifiera au besoin, qu'il s'agit ici de [tex]C_2^5=10[/tex] puisqu'il s'agit de tirer 2 boules sur 5 (en tenant compte de l'ordre ?)

@+

Merci de tes encouragements, freddy...

RBourgeon

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

D'accord ; merci beaucoup pour votre aide les gars ! Je vais me contenter de l'arbre de dénombrement qui est une méthode qui se vaut si la rédaction est solide !!

Bonne soirée à vous deux et encore merci ! :)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Re,

Bin moi, ça ne me satisfait pas. ;-(
J'attends le passage de freddy...
Tirages avec remise : [tex]A_2^5=20[/tex] ? Ça me paraît trop peu...
[tex]5^5 = 3125[/tex] tirages possibles de 5 boules avec remise ?.
A chaque tirage (5 tirages en tout) j'ai à chaque fois 5 choix possibles.

@+

freddy

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Ami Yoshi,

la base est le dénombrement, comme tu l'as fait. C'est comme cela qu'on prend confiance en soi pour faire du dénombrement plus sophistiqué.

Ensuite, on vérifie par le calcul. Ici, c'est le nombre de combinaison de 2 boules choisies parmi 5, donc 10 couples, parfait : l'ordre ne compte pas !!!

Ensuite, on voit bien que si la première est rouge, reste à calculer la proba de tirer une bleue parmi un ensemble de 4 boules, 3 B et 1R. La proba conditionnelle = 3/4 (3 bleues parmi 4 boules).

C'est donc OK, je te décerne la palme de premier ordre dans le rang de l'axiomatique de Kolmogorov !

freddy

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

Re,

sinon, on applique les formules (que je hais cette expression, elle montre qu'on n'a rien compris à rien !).

B = tirer une bleu en 2 ;
A = tirer une rouge en 1 ; Prob(A)= 2/5
non A = tirer une bleu en 1 ; Prob(non A) = 3/5

[tex]\Pr(B) = \Pr(B \;et\; A) + \Pr(B \;et\; non A) = \Pr(B/A) \Pr(A) + \Pr(B/non A) \Pr(non A)[/tex] (système complet d'événements)

[tex]\Pr(B) = \Pr(B/A)Prob(A) + \Pr(B/non A) \Pr(non A) = \frac34 \times \frac25+\frac24 \times \frac35=\frac35[/tex]

[tex]\Pr(B/A) =\frac{\Pr(B \;et\, A)}{\Pr(A)}=\frac52 \times \frac{3}{10}= \frac34[/tex]

Voilà, c'était juste un peu compliqué.

Bb

thadrien

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

C'est ici que je bloque !!! Le numérateur (probabilité de R inter B) est selon moi nul puisque les évènements "la boule tirée est rouge" et "la boule tirée est bleue" sont incompatibles !!
Cela voudrait donc dire que la probabilité demandée demandée dans l'énoncé serait nulle ; or pourtant il suffit de penser à la situation pour se rendre compte que non...

Tu bloques en partie car tes notations ne sont pas assez explicites. En particulier, R désigne "tirer une boule rouge en 1" ou "tirer une boule rouge en 2" ?

Tu poses R1 "tirer une boule rouge en 1", R2 "tirer une boule rouge en 2", et de même pour B1 et B2.

Ainsi :
[tex]R_1 \cap B_1 = \emptyset[/tex] et [tex]p(R_1 \cap B_1) = 0[/tex]
[tex]R_1 \cap B_2 = (R_1,B_2)[/tex] et [tex]p(R_1 \cap B_2) = ...[/tex]

RBourgeon

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Re : Probabilités conditionnelles : une question basique [Résolu]

D'accord !! Me demander s'il fallait distinguer les évènements selon le 1er et le 2ème tirage était une de mes principales interrogations et je m'aperçois que j'ai oublié de vous en faire part ! Merci à vous tous et il est vrai que le calcul par les formules n'est pas toujours la meilleure voie, et que la mathématique s'illustre par la rigueur de son raisonnement et par sa logique (donc pas forcément par les calculs) !