exponentielle TS [Résolu]

cambarth · 27-03-2010 10:40:53

boujour,
je n'arrive pas à démontrer l'inégalité suivante pouvez vous m'aider

exp(1/n) > 1+1/n

merci d'avance

Dernière modification par cambarth (27-03-2010 10:42:38)

freddy · 27-03-2010 13:37:15

Salut,

remarque qu'en posant [tex]x=\frac1n[/tex], on voit que le pb se ramène à déterminer la position de la courbe de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation [tex]y=1+x[/tex].

Si tu arrives donc à montrer que [tex]e^x-1-x > 0,\; \forall x \in \R[/tex] (je ne sais comment la fonction exponentielle t'a été présentée), tu auras répondu à la question.

fouad · 31-03-2010 09:22:14

pour l inegalite la suggestion de prouver que exp(x)-x-1 >0 est la meilleur . pour cela il suffit d etudier les variations
de la fct exp(x)-x-1 sur l intervalle des reels positifs et de tracer le tableau de variations tu remarqueras qu elle
presente un minimum en 0 qui n est autre que 0 . bonne chance

franklino · 02-04-2010 20:35:13

slt
il est clair que pour tout n; nous avons 1+1/n superieur a 1/n
ensuite,nous savons que pour tout entier n, e(1/n) est superieur a 1/n et pour ce dernier soit vrai,ce qui est d'ailleurs vrai
il suffit que l'on ait e(1/n) superieur a 1+1/n.

donc exo resolu sous le controle

freddy · 03-04-2010 06:04:31

franklino a écrit :

slt
il est clair que pour tout n; nous avons 1+1/n superieur a 1/n
ensuite,nous savons que pour tout entier n, e(1/n) est superieur a 1/n et pour ce dernier soit vrai,ce qui est d'ailleurs vrai
il suffit que l'on ait e(1/n) superieur a 1+1/n.
donc exo resolu sous le controle

Salut franklino,

comment prouves tu que [tex]e^{\frac1n} > \frac1n,\;\forall n \in \N[/tex] ?

Par ailleurs, que se passe t-il si n = 0 ?

Enfin, en supposant que l'inégalité [tex]e^{\frac1n} > \frac1n,\;\forall n \in \N^*[/tex] soit établie, comment déduis tu que [tex]e^{\frac1n} >1+ \frac1n,\;\forall n \in \N^*[/tex] du simple fait que [tex]1+\frac1n > \frac1n,\;\forall n \in \N^*[/tex] ?

franklino · 11-04-2010 18:47:40

slt
pardonnez moi,j'ai oublié de dire cela etait vrai pour entier different de zero.
ensuite,nous pouvons montrer par recurrence que pr tout entier distinct de zero,on a e(1/n) superieur à 1/n.
et enfin ma deduction du resultat finale est une cause de la transitivite de la loi "inferieur".

thadrien · 11-04-2010 21:32:23

Salut,

Je crois que tu as dû inverser une relation d'ordre dans ton raisonnemen. La transitivité, c'est (a < b) et (b < c) => (a < c). Or, ce que tu as utilisé, c'est (a < c) et (b < c) => (a < b), ce qui est faux.

franklino · 14-04-2010 13:58:40

slt
je n'ai pas utilisé la transitivité,mais j'ai plutôt dit que pour que la transitivité soit effective il fallait que l'on ait le résultat demandé.

freddy · 14-04-2010 17:27:55

Re,

magnifique : la preuve par l'arrière !

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