Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Boris

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Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Bonsoir, notre professeur a eu la gentille attention de nous donner un exercice pour le Mercredi qui vient, alors en tant que "grand fan" des maths je rentre, et je l'attaque ! Voilà plus d'une heure que je galere ...

Difficulté 1 Etoile x) !

Alors l'énoncé est Résoudre dans {0;2π} les équations suivantes
a) Cos 2x = Sin x
b) Cos 2x - cos x +1 = 0
c) sin 2x = Tan x

Bon il y a aussi la d) et la e) mais si je comprend le " comment du pourquoi" des trois premiers je pense que les deux autres seront simple, ou moins compliqué à comprendre, et donc à faire ?

d) Sin 2x - √3 cos x =o
e) Cos 2x + sin x = 1

Merci d'essayé de m'éclairer x) !

Bref merci à vous, à toute à l'heure :)

freddy

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Salut,

il faut que tu utilises les formules d'addition de cos et sin.

Par exemple, on sait que [tex] \sin2x=2 \sin x\cos x \Rightarrow \sin2x= \tan x \ssi 2\cos^2x=1[/tex] avec [tex]\sin x \ne 0 [/tex].

Pour la première équation, la ruse est [tex]\cos2x=1-2\sin^2x= \sin x [/tex], puis tu résouds l'équation du second degré en [tex]X=\sin x[/tex] puis tu trouves la valeur de x ...

Und so weiter !

Dernière modification par freddy (30-03-2010 11:13:41)

Valentin

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Salut,
Déjà pour le a) tu utilises les formules d'addition proposées par Freddy, tu dois arriver à cette factorisation :  [tex]\left(\sin \left(x\right)-\frac{1}{2}\right)\left(\sin \left(x\right)+1\right)=0,\,\forall \,x\in \left(0;2\pi \right)[/tex] puis il ne te reste plus qu'à résoudre une équation produit nulle!

Valentin

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

pour le b)
[tex]\cos \left(2x\right)-\cos \left(x\right)+1=0\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)\left(2\cos \left(x\right)-1\right)=0\,soit\,\cos \left(x\right)=0\,\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\forall k\in\R[/tex] à toi de résoudre l'autre terme!

Valentin

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

d)  [tex]\sin \left(2x\right)-\sqrt{3}\cos \left(x\right)=0\,\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)\left(2\sin \left(x\right)-\sqrt{3}\right)=0\,[/tex] même démarche à suivre qu'en b)

freddy

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Salut,

je complète Valentin qui, dans son enthousiasme communicatif, a oublié que le domaine de résolution des équations est contraint à l'intervalle  [tex][0, 2\pi][/tex] !...

Bien en  tenir compte dans l'énoncé des solutions.

Bb

freddy

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Re,

bon, je fais le e) pour l'honneur de l'esprit humain !!!

[tex] \cos 2x + \sin x = 1 \ssi 1-2\sin^2x + \sin x = 1 \ssi \sin x \times (1-2 \sin x)=0[/tex]

Je te laisse finir ! ...

Bb

freddy

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

pour le b)
[tex]\cos \left(2x\right)-\cos \left(x\right)+1=0\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)\left(2\cos \left(x\right)-1\right)=0\,soit\,\cos \left(x\right)=0\,\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\forall k\in\R[/tex] à toi de résoudre l'autre terme!

Attention, k doit être un entier naturel, et pas un nombre réel.

Donc [tex]\forall k \in \N [/tex]

Bb

Boris

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Rooo, je suis désoler au risque de paraitre vraiment tres bête j'ai chercher .. Mais rien que pour la a) je trouve toujours un résultat différent du votre ..

Je trouve par exemple (1-2sinx)(cos 2x+ 2sin x) = 0

Si vous pouviez au moins en faire un en entier que je comprenne mon erreur

En tous cas merci du temps que vous consacrez à mon probleme, qui pour vous doit être une partie de plaisir !

Merci encore !

yoshi

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Bonjour,

a) Cos 2x = Sin x
b) Cos 2x - cos x +1 = 0
c) sin 2x = Tan x

On reprend :
a)
[tex]\cos 2x = \sin x \Longleftrightarrow \cos 2x - sin x = 0[/tex]
[tex] \cos 2x - sin x = 1 - 2\sin^2 x - \sin x= 2\sin^2 x + \sin x -1 = 0[/tex]
Tu peux remplacer [tex]\sin x[/tex] par X comme l'a dit freddy et résoudre 2X² + X - 1 =0
Mais tu peux factoriser en voyant que sin x = - 1 est une solution évidente !
[tex]2\sin^2 x + \sin x -1 = (\sin x +1)(2\sin x - 1) =0[/tex]
Et résoudre l'équation-produit...
Donc, je ne vois pas ce que vient faire là ton cos 2x...

b)
[tex]\cos 2x - \cos x +1 = 2\cos^2 x - 1 -\cos x +1 = 2\cos^2 x -\cos x = \cos x(2\cos x -1) = 0[/tex]

c) Avec [tex]\cos x \not = 0[/tex]
On peut écrire :
[tex]\sin 2x = tan x \Longleftrightarrow 2\sin x \cos x = {\sin x \over \cos x}[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow 2\sin x \cos^2 x - \sin x = 0[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow \sin x(2\cos^2 x -1) = 0[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow \sin x \times \cos 2x = 0[/tex]

@+

freddy

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Salut,

je reprends le a).

On doit résoudre [tex]\cos2x = \sin x [/tex]

On sait que [tex]\cos2x = \cos^2x-sin^2x=1-2\sin^2x[/tex]

donc l'équation à résoudre est :

[tex] 1-2\sin^2x-\sin x=0 \ssi 2X^2+X-1=0,\;X=\sin x[/tex]

On voit que X=-1 est solution, on en déduit la seconde racine comme suit :

[tex] 2X^2+X-1=(X+1)(aX+b)=aX^2+(a+b)X+b[/tex]

Par identification on a :

coefficient du [tex] X^2,\;a=2[/tex]

coefficient du [tex]X,\;a+b=1[/tex]

et enfin [tex]b=-1[/tex]

donc l'équation devient : [tex](X+1)(2X-1)=0[/tex] et les solutions cherchées sont :

[tex]\sin x= -1,\;\sin x=\frac12[/tex] donc [tex]x=\frac{3\pi}{2},\;x=\frac{\pi}{6},\;x=\frac{5\pi}{6}[/tex] sauf erreur.

Ensuite, tu vérifies que c'est correct : [tex] \cos 3\pi = -1,\; \cos \frac{\pi}{3}=\cos \frac{5\pi}{3}=\frac12[/tex]

Courage !

PS : rassure toi, ça deviendra aussi une promenade de santé pour toi plus tard. On a tous commencé un jour, comme toi en ce moment.

salut ami yoshi, l'homme le plus rapide du site ! :-) ...

Dernière modification par freddy (03-04-2010 04:58:09)

Boris

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Si vous pouviez juste m'éclairer pour le d) ? Par contre j'ai plutôt bien compris les quatre autres :D !

freddy

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Re,

on a [tex]\sin 2x - \sqrt3\cos x = 0[/tex]

soit [tex]2\sin x\cos x - \sqrt3\cos x = 0[/tex]

soit [tex]\cos x\times (2\sin x - \sqrt3) = 0[/tex]

soit [tex]\cos x\times (\sin x - \frac{\sqrt3}{2}) = 0[/tex]

c'est bon ?

Boris

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

Okay bah merci à vous trois ! Merci infiniment ! Je retravaillerai tous ca de maniere plus apronfondis pendant les vacances qui arrivent :D ! En tout cas je manquerais pas de revenir pour un peu d'aide x)

Bonne soirée !

Valentin

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Re : Un peu de trigonométrie :S ! [Résolu]

pour le b)
[tex]\cos \left(2x\right)-\cos \left(x\right)+1=0\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)\left(2\cos \left(x\right)-1\right)=0\,soit\,\cos \left(x\right)=0\,\Longleftrightarrow \cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\forall k\in\R[/tex] à toi de résoudre l'autre terme!

Attention, k doit être un entier naturel, et pas un nombre réel.

Donc [tex]\forall k \in \N [/tex]

Bb

Salut Freddy,
merci pour la correction (le logiciel est un peu difficile, j'avais écris que k est un Z). En effet, k appartient à Z (un entier relatif) et non un entier naturel! Et évidemment, les solutions trouvées doivent appartenir au domaine de définition, c'est très important!
Valentin