DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

brahim66440 · 06-03-2010 17:37:00

BONJOUR tou le monde !
j'ai un DM pour lundi mais le probleme c'est que je comprend rien a ce qu'il faut faire ..

Donc le sujet est :

Dans un repere orthonormal (O ; [tex]\overrightarrow{J}[/tex] , [tex]\overrightarrow{i}[/tex] ), on place les points A(-3;-1) B(-2;2) et C(3;-3)

1) Faite une figure ( je l'ais faite ^^ )

MAIS JE N'ARRIVE PAS A FAIRE TOUT LE RESTE , VOUS POUVEZ M'AIDER SVP..

2) Démontrez que le triangle ABC est rectangle.

3) On note C le cercle circonscrit au triangle et I son centre

a) calculez les coordonnées de I puis placez I sur la figure.
b) calculez le rayon du cercle C

4) Placez sur la figure les points E(3;2) et F([tex]\frac{5}{2}[/tex] ; [tex]\frac{5}{2}[/tex]). Ces points appartiennent-ils au cercle C ?

5) Démontrez que la droite (EF) est tangente au cercle C.

MERCI SVP DE ME REPONDRE LE PLUS VITE POSSIBLE CAR JE DOIT LE RENDRE LUNDI MATIN .. Merci par avance !

Dernière modification par brahim66440 (06-03-2010 17:41:14)

freddy · 06-03-2010 18:17:37

Salut,

tu me payes combien si je le fais à ta place ?

Bon, pour la question 2), je pense qu'il faut que tu utilises le théorème de Pythagore. Tu le connais, non ?

Bon, alors, applique et reviens me voir !

(...)

yoshi · 06-03-2010 21:30:09

Bonsoir Brahim66440,

Et Bienvenue sur BibM@th...

freddy veut te signifier par là qu'ici il faut faut avoir bossé un peu avant...
Géométrie analytique ou pas, techniquement, tous les outils de calcul dont tu as besoin de te servir sont déjà connus en 3e...

2) Démontrez que le triangle ABC est rectangle.

Outils :
- Calcul de la longueur d'un segment connaissant les coordonnées des extrémités (3e)
- Réciproque du théorème de Pythagore (4e)

3) On note C le cercle circonscrit au triangle et I son centre
a) calculez les coordonnées de I puis placez I sur la figure.
b) calculez le rayon du cercle C

Outils :
- Calcul des coordonnées du milieu d'un segment (3e)
- Centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle --> vu en 4e
- Rayon du cercle : quand tu sauras où est placé ce centre, tu n'auras plus qu'à utiliser une division (division par 2 vue au CM1)

4) Placez sur la figure les points E(3;2) et F[tex]\left({5 \over 2}\;;\;{5 \over 2}\right)[/tex] . Ces points appartiennent-ils au cercle C ?

Outils :
- définition du rayon d'un cercle (vu en 6e)
- Calcul de la longueur d'un segment connaissant les coordonnées des extrémités (3e)

5) Démontrez que la droite (EF) est tangente au cercle C.

Outils :
- définition de la tangente en un point d'un cercle (4e)
- Calcul de la longueur d'un segment connaissant les coordonnées des extrémités (3e)
- Réciproque du théorème de Pythagore (4e) appliquée au triangle EFI.

Maintenant, d'accord, il te faudra plus de 3 min par question quand il y a beaucoup de calcul (ce n'est pas le cas de la 3.b)), mais c'est sans difficulté ou astuces quelconques : c'est parfaitement simple et linéaire... Un seul impératif : savoir calculer sans fautes...

Reviens-nous voir et si tu es coopératif, dimanche soir au plus tard c'est bouclé !

@+

brahim66440 · 06-03-2010 21:54:54

Je ne vois pas comment je pourrais utilisez tout ce que vous m'aviez dis ..

le théoreme de pythagore dans sa ? je ne vois pas comment ... Et tout le reste je ne connais , je n'est pas vu tout sa ... enfin dans mes connaissances je ne connais pas ..

yoshi · 06-03-2010 23:06:01

Bonsoir,

Bien sûr que si que tu as vu tout ça...
pour Pythagore et la deuxième question, voilà ce que tu as appris en3e :
Etant deux points A et B de coordonnées [tex]A(x_A\;;\;y_A)\text{ et } B(x_B\;;\;y_B)[/tex], on a :
[tex]AB =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
.Il te faut appliquer cette formule 3 fois pour calculer AB, AC et BC
Puis, comme en 4e, tu dois comparer d'une part BC² avec AB² + AC² d'autre part.
Tu vas conclure qu'il y a égalité et donc que d'après la réciproque du th. de Pythagore, le triangle est rectangle en A.

Et encore pour le 3. simple question : où est placé le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, rectangle en A ?

La mémoire revient ?

Au boulot et reviens avec tes réponses...

@+

brahim66440 · 06-03-2010 23:14:45

moi j'ai fais :

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] (xB - xA ; yB - yA) [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] (1;3)

[tex]\overrightarrow{AC}[/tex] (6;-2)

[tex]\overrightarrow{BC}[/tex] (5;-5)

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] + [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] ( 6-1 ; -2-3 )

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] + [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] (5;-5)

Donc [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] + [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] et donc le triangle ABC est rectangle.

Je ne sais pas si c'est sa .. mais en tout cas je ne suis pas sur et le reste je n'y arrive pas du tout ! depuis cette apres midi je cherche en vain sans trouver , sa me fou les boules ... jespere vraiment trouver ...

Merci encore :)

freddy · 06-03-2010 23:21:07

Re,

bien sûr que ce n'est pas ça, mais tu n'es pas bien loin. Relis ce qu'à écrit Yoshi, tu vas vite trouver !

[Mode Privé] Hello Yoshi, very nice to meet you again ! I'm very happy ![/Mode Privé]

brahim66440 · 06-03-2010 23:25:40

je ne sais absolument pas ...

yoshi · 07-03-2010 08:29:56

Re,

Hmmmmm...
Brahim, la 1ere chose en maths, c'est d'apprendre à lire...
Tu as écrit [tex]\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}[/tex], c'est juste une tentative ratée de vérification de la relation de Chasles que tu as fait !!!
En effet, tes calculs ne correspondent pas à [tex]\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}[/tex] mais à [tex]\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}[/tex].
En effet pour additionner deux vecteurs, on... additionne leurs coordonnées, on ne les soustrais pas !

Moi, par contre, je n'ai pas utilisé de vecteurs mais les "longueurs" de ces vecteurs et leurs carrés...
Ainsi avec [tex]\overrightarrow{BC}(5\;;\-5)[/tex], on en tire :
[tex]BC =\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}[/tex] ou encore [tex]BC^2 =(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2=5^2+(-5)^2=50[/tex]

Plus tu vas t'énerver, moins tu avanceras...
Donc maintenant tu as BC², il te reste à calculer de la même façon AB² et AC².
Puis tu sommes : AB² + AC² et tu dois trouver 50.
C'est alors que tu places la petite phrase de conclusion se référant à la réciproque du théorème de Pythagore...

Je renouvelle ma question : où places-tu le centre du cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A ?
Normalement, dans le cas d'un triangle quelconque, on répond qu'il est à l'intersection des médiatrices des côtés du triangle.
Dans le cas d'un triangle rectangle, on peut également dire qu'il est toujours placé de la même façon très particulière. Alors ?

Je ne penses pas que tu sois en première ; dans le cas contraire tu as peut-être vu la "condition d'orthogonalité" de deux vecteurs utilisant leur produit scalaire[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}[/tex] (ça, ce serait un outil nouveau par rapport à ceux évoqués)... A quel niveau es-tu donc : 2nde ? 1ere ?
Allez, continue maintenant !
Je vais surveiller régulièrement l'avancée de tes travaux...
Comme a dit un poète (je ne sais plus lequel) : les chants désespérés sont toujours les chants les plus beaux !

@+

[mode privé]Thanks freddy ! [/mode privé]

[EDIT]Après vérification (remords de conscience dû au titre du sujet : DM sur les vecteurs...) j'ai vérifié et trouvé ça dans le bouquin de 2nde :

Comment démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?
Soient [tex]\vec u(a\;;\;b) \text{ et }\vec v(a'\;;\;b') [/tex]. Si aa'+bb'=0 = 0 alors [tex]\vec u \text{ et }\vec v[/tex] sont orthogonaux...

Mais ici, on ne parle pas de "produit scalaire", cette notion n'est évoquée qu'en 1ere, même si c'est bien ce qu'on fait... En 2nde ce théorème découle simplement de la condition d'orthogonalité de deux droites.
Si tu as vu ça en cours, alors tu peux raccourcir tes calculs maintenant que tu as les coordonnées :
[tex]\overrightarrow{AB}(1\;;\;3)\text{ et }\overrightarrow{AC}(6\;;\;-2)[/tex] .
tu n'as plus alors qu'à vérifier que aa' + bb' = 0 et tu sauras que tes vecteurs sont orthogonaux en A, donc que le triangle BAC est rectangle en A.

Question 3. Rien à changer.

Question 4
Si tu as vu la condition d'orthogonalité de 2 vecteurs, alors tu peux montrer ainsi que [tex]\overrightarrow{BE}\text{ et } \overrightarrow{CE}[/tex] sont perpendiculaires donc que le tr. BEC est rectangle en E.

Si tu n'as pas vu cette condition, alors tu peux faire remarquer que
- ordonnée de B = ordonnée de E donc que (BE) est parallèle à l'axe des abscisses
- abscisse de E = abscisse de C donc que (CE) est parallèle à l'axe des ordonnées
Et tu arrives à la même conclusion
Ou tu peux te farcir les calculs de longueurs de BE et EC et faire remarquer que BE² + EC² = BC²...
Ensuite, règle de 4e : Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle.

Ou encore tu calcules IE et tu montres que IE = rayon.
Pour montrer que F n'est pas sur le cercle le plus simple (et le plus rapide) est de montrer que IF > rayon.

Question 5.
Si tu as vu la condition d'orthogonalité de 2 vecteurs, tu peux montrer que [tex]\overrightarrow{FE}\text{ et } \overrightarrow{IE}[/tex] sont perpendiculaires (voir déf. de la tangente).
Sinon, rien à changer à ma suggestion antérieure.

As-tu vu cette condition d'orthogonalité ? Vérifie dans ton cours !

Dernière modification par yoshi (07-03-2010 10:44:34)

brahim66440 · 07-03-2010 11:02:59

Merci enormément ! Moi donc j'ai trouver ce que vous m'aviez dis ! merci merci merci ! :)

Moi je suis en seconde ! et j'ai eu 6.62 de moyenne en maths je pense que sa se vois ;) et ce trimestre j'ai augmenter jusqu'a 9.12...

Bref .. Merci enormément de m'aider ! sa me fais plaisir ... en revanche pour le 3) j'y arrive pas , de meme pour pour le 4 et le 5

et je place I au milieu de [BC]

Dernière modification par brahim66440 (07-03-2010 11:22:52)

yoshi · 07-03-2010 14:17:54

Bonjour,

Oui, ça c'est vu !
J'ai même eu l'impression qu'on t'avait attrapé au lasso depuis la 3e pour te faire venir en 2nde... ;-)

3.a) Oui, I est au mileu de [BC] !
Donc maintenant coordonnées de I milieu de [BC] (cours 3e) : [tex]\left(\frac{x_B+x_C}{2}\;;\;\frac{y_B+y_C}{2}\right)[/tex]
b) Ton rayon est donc IA = IB = IC... Tu as le choix du calcul !
Supposons que tu calcules IB : [tex]IB=\sqrt{(x_B-x_I)^2+(y_B-y_I)^2}[/tex]
Tu vas tomber sur [tex]\frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{5\sqrt 2}{2}[/tex]. C'est bon, tu trouves ?
4. E sur le cercle ? Par la même méthode tu calcules IE, et tu constates que IE = rayon précédent donc que E est sur le cercle.
En effet (6e) : Le cercle est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point appelé centre.
F sur le cercle ?
Tu calcules IF et tu constate que IF > rayon. Donc F n'est pas sur le cercle.

5. Calcule les coordonnées de [tex]\overrightarrow{IE},\text{ puis celles de }\overrightarrow{FE}[/tex]
Tu calcules aa'+bb' et vérifie que ça fait bien 0... alors les 2 vecteurs en question sont perpendiculaires.
Et alors ?
Alors, définition : La tangente en un point d'un cercle est la droite qui perpendiculaire au rayon en ce point..

Ca y est ? Tu suis ! Tu dois bien te dire que réussir en maths, c'est 50 % de connaissance des leçons (depuis la 6e !). Hélas, tu m'as l'air d'en être à 10 % ? Non ?

@+

Brahim66 · 07-03-2010 14:46:03

merci enormément !

coment je fais pour calculer IE ?

moi je pense que je n'est que 1% =)

merci beaucoup ! je te doit enormèment !

yoshi · 07-03-2010 15:05:13

Salut,

brahim a écrit :

comment je fais pour calculer IE ?

Et moi je t'ai écrit :

E sur le cercle ? Par la même méthode tu calcules IE,...

La bonne question aurait pu être : La même méthode que quoi ?
Complètement affolé... Réfléchis un peu, relis tout...
Et tu vois que la réponse est : la même méthode que pour le calcul de IB en remplaçant B par E :
[tex]IE=\sqrt{(x_E-x_I)^2+(y_E-y_I)^2}[/tex]

@+

PS bin, si ce n'est que 1 %, ce qu'il te reste à faire, au fil des exercices :
- Mémoriser les règles qu'on va te citer au fur et à mesure
- Mémoriser le contexte logique dans lequel on les emploie

Brahim66 · 07-03-2010 15:14:58

Ok merci ! moi je trouve pour IB = 5racine carré de 2 sur 4 ! c normal ?!

yoshi · 07-03-2010 15:31:20

Re,

Apparemment non...
J'avais calculé au tout début : BC² = 50. Donc [tex]BC =\sqrt {50}=5\sqrt 2[/tex] et comme IB est la moitié de BC...

Je pense que tes calculs aboutissaient à [tex]\sqrt{{50 \over 4}}[/tex] et que tu as oublié cette règle de 3e :
[tex]\sqrt{{a \over b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}[/tex]

Oui/non ?

@+

brahim66440 · 07-03-2010 15:45:42

Désolé je vien de voir mon erreur : jai diviser pas 2 a chaque fois alors qu'il ne faut pas .. :)

en ce qui concerne 5) Jai fais :

[tex]\overrightarrow{IE}[/tex] (2.5;2.5)
[tex]\overrightarrow{FE}[/tex] (0.5;-0.5)

(2.5 x 0.5) - (2.5 x -0.5) = 1.25 + 1.25 = 2.5

Mais ce n'est pas possible puisque il faut que ce soit egal a 0 ! Je ne vois pas d'ou vien mon erreur :)

yoshi · 07-03-2010 15:54:18

Re,

Pfff ! Tu es inattentif... Tu dois être asses concentré pour que ton cerveau surveille que ta main exécute bien les ordres prévus...
Tu as utilisé aa'-bb' alors que c'est aa'+bb', soit 1,25 + (-1,25) = 0.

La recherche de ses propres erreurs est un sport très difficile ! Rassure-toi...

@+

brahim66440 · 07-03-2010 16:08:04

:)

Merci enormément ! je viens enfin de finir mon DM !

Toi t'es en terminale ou t'es en quoi ?

yoshi · 07-03-2010 16:22:31

Non,

Prof de Collège en retraite... ;-)

@+

brahim66440 · 07-03-2010 16:25:13

ok ! et bien merci énormément ! c'est tres simpatique de votre part d'avoir été a mon écoute !

yoshi · 07-03-2010 17:36:42

Re,

Sur un forum le "tu" est de rigueur...
Je continue à aider mes anciens élèves qui font appel à moi, alors pourquoi pas toi ?

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 06-03-2010 17:37:00

DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#2 06-03-2010 18:17:37

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#3 06-03-2010 21:30:09

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#4 06-03-2010 21:54:54

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#5 06-03-2010 23:06:01

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#6 06-03-2010 23:14:45

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#7 06-03-2010 23:21:07

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#8 06-03-2010 23:25:40

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#9 07-03-2010 08:29:56

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#10 07-03-2010 11:02:59

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#11 07-03-2010 14:17:54

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#12 07-03-2010 14:46:03

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#13 07-03-2010 15:05:13

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#14 07-03-2010 15:14:58

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#15 07-03-2010 15:31:20

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#16 07-03-2010 15:45:42

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#17 07-03-2010 15:54:18

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#18 07-03-2010 16:08:04

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#19 07-03-2010 16:22:31

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#20 07-03-2010 16:25:13

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

#21 07-03-2010 17:36:42

Re : DM sur les vecteurs et la géométrie analytique [Résolu]

Pied de page des forums