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Blutz

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Symétrie Affine

Bonjour

Dans le cadre d'un exercice sur les applications affines, je rencontre des difficultés pour démontrer proprement que :

s o s = Id [tex]\Longleftrightarrow[/tex] s est une symétrie affine

Sachant que précédemment, l'exercice défini une symétrie comme :

Une application qui à un point [tex]M[/tex] associe le point  [tex]M\,+2\,\overrightarrow{Mp\left(M)\right)}[/tex]
avec p projection affine.

s est une symétrie affine [tex]\Rightarrow[/tex] s o s = Id  a été vite démontré, mon problème concerne donc l'autre implication.

L'idée que j'ai eu a été de définir F=ker(s-Id) et G=ker(s+Id) deux sous espaces vectorielles de E
Montrer qu"ils sont supplémentaires dans E
puis montrer qu'alors s serait égale à l'application qui à [tex]M[/tex] associe [tex]M\,+2\,\overrightarrow{Mp\left(M)\right)}[/tex] où ici p serait la projection affine sur F parallèlement à G

Mais c'est sur cette dernière étape que je bloque
Le fait est que, arrivé ici je m'embrouille l'esprit entres les points, les vecteurs, les effets de mes applications.
Et dés que je pense arrivé à démontrer le résultat, mes démonstrations sentent l'arnaque à plein nez...

Cette exercice me frustrent énormément car j'ai vraiment l'impression d'avoir la solution sur le bout des doigts mais rien n'y fait...

En espérant que vous pourrez éclaircir ma lanterne et me donner des indices de résolutions.

Merci d'avance

Dernière modification par >Blutz (26-02-2010 12:28:35)

freddy

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Re : Symétrie Affine

Salut,

par définition et construction, une symétrie est une isométrie involutive, c'est à dire que c'est un endomorphisme bijectif tel que [tex] sos=Id[/tex].

Consulte le lien interne et tu auras les réponses à tes questions.

Bon courage !

Dernière modification par freddy (26-02-2010 14:19:24)

Blutz

Invité

Re : Symétrie Affine

Rebonjour

En fait ici l'exercice concerne de la géométrie affine tandis que le lien concerne des espaces vectoriels...
J'arrive à démontrer l'équivalence chez les espaces vectoriels, ça bloque dans la passage en géométrie affine.

De plus le but de l'exercice est de (re)définir les symétries affines et d'en redémontrer les résultats les plus important et notamment le fait que toute application involutive dans un espace affine est une symétrie ...

Merci quand même de l'aide mais j'aurai encore besoin d'un peu d'aide

Si quelqu'un pouvait me dire si mon début de méthode de démonstration est la bonne ou si elle est voué à l'échec ... voir si il y avait une astuce qui ne m' été pas apparue ...

Remerci D'avance

freddy

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Re : Symétrie Affine

Re,

si tu te souviens de la convention selon laquelle [tex]\vec U = \overrightarrow{OM}[/tex], tu passes facilement d'un espace vectoriel à un espace affine, c'est à dire en affinité avec cet espace vectoriel.

Du coup, tu dois travailler avec l'application s telle que :

[tex]s(\vec U) = s(\overrightarrow{OM})=\overrightarrow{OM'}=\vec U'[/tex].

Tout devient ensuite limpide, non ?

Dernière modification par freddy (26-02-2010 21:18:41)

Fred

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Re : Symétrie Affine

Salut,

  Freddy a raison, il faut passer par le vectoriel, c'est plus facile.
Considère [tex]\vec s[/tex] la partie vectorielle de s. Tu devrais montrer que [tex]s[/tex]
est une symétrie affine ssi [tex]\vec s[/tex] est une symétrie vectorielle, puis utiliser les résultats
que l'on connait concernant les symétries vectorielles.

Pour la rédaction que tu proposes, les espaces E et F que tu définis ne sont pas des sous-espaces vectoriels, mais des sous-espaces affines.

A+
Fred.

Blutz

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Re : Symétrie Affine

Merci de l'aide, ça m'as permis de prendre du recul ... en fait j'avais fini l'exo, il suffisait de tirer partie des questions précédentes (que je n'avais pas re-citer ) qui nous donner quelques bonnes propriétés... à savoir :

Une symétrie affine est une application de partie linéaire une symétrie vectorielle ...

Et avec ma définition de F et G ( qui en fait sont bien des sous espaces vectoriels car, et c'est un oubli de ma part, le s de leur définition est en fait la partie linéaire de s ) on arrive facilement à démontrer que :

si [tex]s\,o\,s\,=\,Id[/tex]  alors la partie linéaire de s est une symétrie vectorielle ( sur F parallèlement à G )
et donc que s est symétrie affine

D'où le résultat ... Merci encore pour l'aide

Dernière modification par >Blutz (27-02-2010 01:44:52)

Webern

Invité

Re : Symétrie Affine

Bonjour.
En fait, l'équivalence : "s est une symétrie affine ssi  sa partie linéaire est une symétrie vectorielle", est fausse, ainsi la partie linéaire d'une translation est l'identité, application naturellement involutive, mais une translation n'est pas une symétrie.
Une transformation dont la partie linéaire est une symétrie vectorielle est la composée d'une translation et d'une symétrie.

Pour démontrer le résultat, il faut donc montrer que la partie linéaire de s est une symétrie vectorielle ET que s admet un point fixe (ce qui est très facile au vu des hypothèses que tu mentionnes), auquel cas on peut alors affirmer que s est une symétrie affine.

freddy

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Re : Symétrie Affine

Salut Webern,

que penses tu de cette présentation :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_affine ?

Merci de ton avis.

Dernière modification par freddy (28-02-2010 09:22:41)

Webern

Invité

Re : Symétrie Affine

Bonjour, Freddy.
L'article est bien fait et exhaustif, je me demande cpependant s'il n'aurait pas été mieux de commencer la définition en définissant l'application affine f en elle-même, avec l'égalité : f(O)=O'+ (partie linéaire du vecteur O'M), au lieu de commencer par l'égalité associée à sa partie linéaire.
(ça me semble plus logique de commencer par définir l'application affine elle-même, mais bon, il s'agit d'un détail).

Sinon, je pense qu'il faudrait mettre un lien à la fin de l'article vers "isométrie affine", ce sont deux articles très liés, d'ailleurs dans ce dernier (que je viens de découvrir et consulter), il est surprenant que l'on ne mentionne pas que les isométries forment un groupe engendré par les réflexions (enfin bon, l'article existe, c'est déjà pas mal)

Bonne soirée

jpdx

Invité

Re : Symétrie Affine

Supposons $s\circ s=id$. Un  fois prouvé que la partie linéaire est une symétrie vectorielle, il suffit de prouver que $s$ admet au moins un point fixe pour en déduire que $s$ est une symétrie affine.
Pour cela on prend un point quelconque $I$. $s$ est affine donc conserve l'isobarycentre de  $(I,s(I))$. Par suite le milieu de $(I,s(I))$ est un point fixe de $s$ (on suppose que le corps de base n'est pas de caractéristique 2).