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freddy

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Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Un jeu de boule se déroule selon le protocole suivant :

- deux personnes tirent, chacune à son tour, une boule dans une urne opaque ; l'ordre de tirage est tiré au sort, de manière équiprobable, au début du jeu. Il ne peut être modifié encours de partie.

- dans l'urne, il peut y avoir des boules de couleur Bleu, Blanc ou Rouge. Au départ, il n'y a que des boules bleues dont le nombre est arrété par le le commissaire du jeu (100 au maximum).

- à chaque tirage, le commissaire de jeu procède aux manipulations suivantes :

1 - si les deux boules tirées sont soit bleues toutes les deux, soit rouges toutes les deux, les deux boules sont écartées et  il ajoute une boule blanche dans l'urne ;
2 - si les deux boules sont blanches, elles sont écartées et le commissaire met une bleu et une rouge dans l'urne ;
3 - si les deux boules tirées sont soit blanche et rouge soit blanche et bleu, elles sont écartées et une boule de la couleur manquante est ajoutée dans l'urne ;
4 - si les deux boules tirées sont bleu (et non pas blanche comme indiqué par erreur, merci goz) et rouge, elles sont remises dans l'urne.

- a perdu le joueur qui ne peut tirer une boule dans l'urne.

- la partie cesse sur proposition du commissaire de jeu, avec l'accord des deux joueurs.

Chaque joueur mise 1.000 euros. S'il gagne, il ramasse les mises. S'il n'y a pas de gagnant, le commissaire conserve les mises.

Qui est sûr de pouvoir gagner à tous les coups ?

Dernière modification par freddy (23-02-2010 05:46:41)

goz

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Bonjour,

Il y a quelque chose qui ne va pas dans l'énoncé, l'hypothèse que les deux boules tirées sont blanche et rouge apparaît en 3) et en 4), mais le cas où elle sont bleue et rouge n'apparaît pas.

Il faudrait modifier. Mais si la bonne version est : 3 comme dans l'énoncé et 4 modifié en : si les deux boules tirées sont bleue et rouge, elles sont remises dans l'urne,
alors la répons est : c'est le commissaire qui est sûr de pouvoir gagner à tous les coups.

En effet, il lui suffit de choisir de mettre 4 boules dans l'urne. Comme on le verra plus loin, il viendra immanquablement un tirage à la suite duquel il ne restera plus dans l'urne qu'une boule bleue et une rouge. Donc à chaque tirage, on retirera ces deux boules-là, on les remettra dans l'urne, et le jeu pourra durer indéfiniment. Le commissaire de jeu proposera d'arrêter la partie, et à moins que l'un des deux joueurs soit franchement borné ils accepteront, puisqu'ils peuvent être certains l'un et l'autre de ne jamais récupérer leur mise !
Voyons donc qu'on arrive forcément à : une rouge et une bleue.
1er coup : comme il y a 4 bleues, on tire forcément deux bleues, on remet une blanche. Il y a donc deux bleues et une blanche.
Premier cas : on tire une bleue et une blanche. Alors on les enlève et on remet une rouge à la place, il reste bien une rouge et une bleue.
Deuxième cas : on tire deux bleues. Alors on les enlève et on met une blanche à la place, il reste donc deux blanches, et au coup suivant on tire forcément ces deux blanches, et on les remplace par une bleue et une rouge, cqfd.

En revanche, si c'est la règle 4 qui est bonne et la règle 3 qu'il faut changer en "si les deux boules tirées sont soit bleue et rouge soit blanche et bleu", alors c'est nettement plus compliqué.

Bien sûr, le joueur 2 ne gagnera jamais : pour qu'il gagne, il faut qu'après un tirage il ne reste plus de boules. Et bien sûr que le tirage ait eu lieu, donc qu'avant le tirage il en reste 2 (s'il n'en reste qu'une le joueur 2 perd) Or à chaque tirage le nombre de boules reste constant ou diminue de  1, mais jamais de 2...

Edité : avec ces règles, il n'y a pas de tactique gagnante pour le commissaire, ni pour personne. D'abord, quel que soit le nombre de boules bleues au départ, le joueur 1 a toujours la possibilité de gagner, car il existe une succession de tirages qui conduit à ne plus avoir qu'une boule dans l'urne. En effet on observe que dès qu'une boule bleue est tirée, peu importe la seconde, le résultat est toujours qu'il y a une boule de moins dans l'urne à l'arrivée. Si on tire d'abord deux boules bleues, remplacée par une blanche, puis une troisième bleue avec la blanche, puis la quatrième bleue avec celle qui a remplacé la bleue et la blanche, etc, on finit bien par ne plus avoir qu'une boule. Donc le commissaire n'a pas de tactique gagnante. Mais s'il choisit 7 boules, il a une possibilité de gagner : si par hasard on tire trois  fois deux bleues (résultat dans l'urne : trois blanches, une bleue) puis deux blanches (résultat : une blanche, deux bleues, une rouge) puis une bleue et une rouge (deux blanches une bleue) puis une bleue et une blanche il reste une blanche et une rouge et la situation est bloquée, le commissaire gagne.

Amicalement,

goz

Dernière modification par goz (22-02-2010 15:45:43)

freddy

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Salut goz,

merci pour le relecture et Ok pour la réponse (et désolé pour l'erreur de plume ...)

Mais si on demande au commissaire de mettre au moins 90 boules (ou bien au moins 2000 par exemple) dans l'urne, combien doit il en mettre pour être sûr de gagner ?

goz

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Je dirais un nombre de la forme 4n...
Ce qui est certain c'est que si le nombre est impair alors le joueur 1 gagne. En effet on se convainc plus ou moins aisément (euh j'espère que c'est juste) que le commissaire gagne à coup sûr si et seulement si à tout moment de la partie il est encore possible que la situation évolue vers une boule bleue et une rouge (et rien d'autre) tandis que le joueur 1 gagne à coup sûr si à tout moment de la partie la situation peut évoluer vers une seule boule (donc préalablement vers une rouge et une blanche ou une blanche et une bleue ou deux bleues ou deux rouges). Si on attribue 1 point par boule rouge ou bleue et deux points par boule blanche, on voit qu el'application des règles ne modifie jamais la parité du total des points (tant qu'on peut jouer, c'est-à-die tant qu'avant le tirage il reste au moins deux boules). Donc si au départ il y a un nombre impair de boules on ne peut évoluer que vers une situation impaire (sachant que la probabilité de suivre une branche infinie autre que le blocage rouge-bleu : situation inchangée parce qu'on tire systématiquement une bleue et une rouge alors qu'il y a au moins trois boules) est nulle).
Je pense que si le nombre de boules est de la forme 4n + 2, alors toutes les situations (autres que les branches infinies) évoluent vers une unique boule blanche, et que s'il a la forme 4n alors il évolue vers une rouge et une bleue. J'ai une idée pour le démontrer par récurrence mais je n'y arrive pas tout à fait.

Dernière modification par goz (22-02-2010 19:02:46)

goz

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Oups, j'y suis ! Il faut compter un point par bleue, deux points par blanche et trois points par rouge : alors les règles ne changent pas le total de points modulo 4 ! La situation bleu-rouge est la seule situation "finale"  qui vaut 0 mod 4. Bon, c'est peut-être pas très clair mais le résultat y est.

Dernière modification par goz (22-02-2010 19:17:05)

freddy

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Salut,

oui, bien vu. Le commissaire gagne à coup sûr si le nombre de boule est congru à 0 modulo 4 ! ...

Si le nombre de boule est congru à 2 modulo 4, il ne restera qu'une boule blanche. Un résultat intermédiaire consiste à vérifier, dans ce cas, qu'on a toujours au moins une boule blanche quand il ne reste plus que 3 boules.

goz

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Ah ? C'est vrai, mais il me semble qu'on n'en a pas besoin. Mon raisonnement, exprimé de façon brouillonne il est vrai, consistait à observer que si on exclut les parties qui sont infinies parce qu'on a une bleue, une rouge et d'autres boules, e où on tire toujours une bleue et une rouge ad infinitum (on peut les exclure car elles sont en nombre fini et chacune de probabilité nulle), et si pour simplifier le discours on dit que la partie se termine à l'avantage du commissaire si on aboutit à une rouge et une bleue, alors toute partie se termine soit par une rouge, soit une blanche, soit une bleue, soit une rouge et une bleue. Cela me paraît évident en voyant la forme des règles, mais si on veut en donner une preuve mathématique, il suffit de voir que  dans toute autre situation (qu'une boule, ou une bleue et une rouge), il reste possible d'appliquer la règle 1, la 2 ou la 3 or chacune de ces règles diminue strictement le nombre de boules, ou le nombre de points attribués selon la méthode de mon dernier message, ou la somme du nombre de boules blanches et de boules bleues, et n'augmente jamais l'un de ces trois nombres : la seule possibilité pour une partie infinie est donc celle que je citais plus haut, le tirage systématique d'une bleue et d'une rouge alors qu'il y a au moins trois boules. A noter que chaque règle laisse inchangés, ou peut laisser inchangés, deux de ces trois nombres, c'est pour ça que j'ai été obligé de considérer les trois.
Puisque 1 bleue = 1 pt, une blanche = 2 pts, 1 rouge = 3 points et 1 bleue + 1 rouge = 4 points et que les règles ne modifient jamais le nombre de points modulo 4, il vient que toute partie avec au départ n boules aboutira inexorablement à 1 bleue si n est congru à 1 (mod 4), une blanche s'il est congru à 2, une rouge s'il est congru à 3 et une bleue et une rouge s'il est congru à 4.

A plus, goz.

freddy

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Salut goz,

si tu regardes bien, tu verras que tout passe via la restriction positive du groupe [tex]Z/4Z[/tex] ...

goz

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Re : Jeu de boule (à Carry le Rouet)

Ah, merci, je pense qu'au départ de ce problème je vais apprendre quelque chose d'intéressant, là... C'est quoi "la restriction positive" ?