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krist

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[Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Bonjour, il s'agit d'un petit DM basé sur le thème ci-dessus.
Je vous expose la situation :
"Soit f(x)=[tex]\frac{2x²-x+1}{x-1}[/tex] pour x =/= 1 et C sa courbe.
1. Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout x différent de 1, f(x) = ax+b+ [tex]\frac{c}{x-1}[/tex] 
2. a. Déterminer les limites de f en -[tex]\infty[/tex] et en +[tex]\infty[/tex]
b. Montrer que C admet une asymptote delta en -[tex]\infty[/tex] et en +[tex]\infty[/tex] et étudier la position de C par rapport à delta.

Et c'est à cette question 2b que je bloque. J'ai relu plusieurs fois la leçon mais je ne trouve pas la solution ou la démarche.

En ce qui concerne les réels a, b et c, j'ai trouvé a = 2, b = 1 et c= 2, les limites de f, j'ai trouvé :

x => -[tex]\infty[/tex]
lim f(x) = -[tex]\infty[/tex]

x => +[tex]\infty[/tex]
lim f(x) = +[tex]\infty[/tex]

Mais la b, je bloque. Je vois pas comment trouver une même asymptote en -[tex]\infty[/tex] et +[tex]\infty[/tex]. Aurais-je fait une erreur dans mes limites ?

Merci.

Valentin

Invité

Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Bonjour,
Pour le 2b), je pense qu'il manque une donnée: équation de la droite delta que tu ne nous as pas donné. Si l'équation de la droite delta t'est donnée dans l'énoncé, il te faudrait d'abord faire la différence : f(x)-y avec y équation de la droite delta. Puis tu calcules la limite de la différence en - infini et en + infini. L'asymptote pourrait être oblique!
Enfin, pour la position de C par rapport à delta, tu étudies le signe de la différence (f(x)-y) pour dire si la courbe est au-dessus ou au dessous de delta ou bien elle coupe delta en point x=?
Donc revois tes énoncés!
Valentin

krist

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Aucune équation de delta dans l'énoncé. J'avais pensé à la méthode la soustraction mais elle est par conséquent impossible.
Asymptote oblique ? C'est fort possible. Mais je pense que j'ai dû me tromper à un certain endroit au dessus.

Une autre idée ? :)

Valentin

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

à ton niveau (1 S), on est obligé de te donner l'équation de la droite pour arriver à étudier la positive relative à la courbe. Sinon, je te la donne à partir de ta fonction, y=2x+1.
calcules la différence f(x)-(2x+1), puis limite en -infini et +infini. Ensuite étudies le signe de f(x)-y=c/(x-1) pour connaître la positive de C à delta.

freddy

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Salut,

consulte ce lien, tu comprendras mieux ce qu'il convient de faire.

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … chinf.html

Sinon, la droite Delta que tu cherches est précisement y=2x+1 ...

Donc tu calcules la limite de f(x)-y en + et - l'infini, puis tu étudies le signe de la différence pour avoir la position de la courbe par rapport à son asymptote oblique.

Enjoy !

Dernière modification par freddy (17-02-2010 12:55:34)

krist

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

J'ai calculé la différence entre les deux et je trouve un truc du genre :
[tex]\frac{-x²-2x}{x-1}[/tex]
Je tente de trouver la limite en -[tex]\infty [/tex] mais je me bute à des formes indéterminées, même en factorisant avec le membre le plus grand. Ca m'énerve réellement.

Help please. ^^

freddy

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Mais non, c'est plus simple :

[tex]f(x)-y = \frac{2}{x-1}[/tex] ...

D'où l'intérêt de bien traiter la première question.

krist

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Je  vous remercie de votre aide et désolé de pas avoir répondu plus tôt. Je voulais vraiment essayer de faire le reste par moi-même, quitte à me taper la tête contre les murs.

Cependant, il me manque encore deux questions (la 4 et la 5) mais pour plus de clarté, je vais vous copier l'ensemble de l'exercice restant :

"3. a. Etudier le comportement de f(x) quand x tend vers 1"

Quand x tend vers 1 tout en y restant inférieur, j'ai trouvé une limite de - [tex]\infty [/tex] et j'ai trouvé + [tex]\infty [/tex] lorsque x est supérieur à 1 tout en tendant vers lui.

"b. Interpréter graphiquement."

J'ai mis que la courbe de l'équation f(x) sera une hyperbole ayant pour valeur interdite 1 mais je sais pas si ça suffira.

"4. Dresser le tableau de variation de f."

C'est là où le bat blesse : j'ai réussi à faire ledit tableau de variation en m'aidant de la calculatrice (et il est juste) mais je ne sais pas comment le justifier. A vrai dire, je n'ai jamais su justifier un tableau de variation ou de signe, j'ai dû louper la leçon.

"5. Tracer C et delta."

J'imagine qu'il faudra utiliser un logiciel pour faire ça. Je me vois mal tracer à la main une courbe telle que C.

Merci encore de votre aide.

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Salut,

Tu as [tex]f(x)=2x+1 +\frac{2}{x-1}[/tex]
Quand x tend vers 1 par valeurs inférieures :
2x tend vers 2 et 2x + 1 tend vers 3.
Mais
[tex]\frac{2}{x-1}[/tex] tend vers [tex]2 \over 0^{-}}[/tex] ( c à d par valeurs négatives)
Donc [tex]\frac{2}{x-1}[/tex] tend vers -oo et f(x) aussi donc (le 3 est négligeable devant + ou -oo)
Même raisonnement pour x tendant vers [tex]0^{+}[/tex]

3.b Je dirais que la courbe admet une asymptote verticale x = 1

4.
Moi je calculerais la dérivée f'(x) et j'étudierais son signe, mais pour simplifier les calculs je partirais de  :
[tex]f(x)=2x+1 +\frac{2}{x-1}[/tex]
[tex]f'(x)=2 -\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{2(x-1)^2-2}{(x-1)^2}[/tex]

Et comme le dénominateurs est un carré donc signe + la dérivée est du signe du numérateur que tu vas factoriser.
Je place x1  et x2 les solutions avec x1 < x2 et le 1 entre les deux.
Ton tableau se présente donc ainsi :

  x  | -oo     x1      1     x2       +oo |
-----|---------|------||-------|-----------|
f'(x)|   +     |   -  ||   -   |      +    |
-----|---------|------||-------|-----------|
     |         0      ||       |           |
f(x) |                ||       0           |

Tu places les -oo et +oo les flèches vers le bas pour -, vers le haut pour + la valeur des extrema (pour x1 et x2) dans la "ligne" de f(x).

C'est ok ?

Si tu cherches un logiciel : Graphe Easy (shareware) : http://www.grapheeasy.com ou peut-être le geolabo de Fred (à vérifier).

Je pense que tu devras t'inspirer de la courbe ci-dessus pour la reproduire avec un petit tableau de valeurs, mais pas de tracé via imprimante et découpe puis collage sur la copie. Ce ne serait pas possible au Bac, donc...

@+

Dernière modification par yoshi (22-02-2010 07:35:08)

krist

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Re : [Résolu] Limites et asymptotes (1ère S)

Je vous remercie infiniment tous. Les vacances se terminent et mon DM est fini aussi. Merci beaucoup.