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#1 28-01-2010 23:37:46
- fadara
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- Messages : 23
Nombre de segments à partir des points d'un cercle
Bonsoir
J'ai un petit problème
A partir d'un nombre n de points d'un cercle, combien de segments peut-on tracer en joignant ces n points 2 à 2 ?
J'ai remarqué que pour trouver le nombre de segments pour n + 1 segments, il faut ajouter le nombre de segments pour n à n.
Donc, pour 0 point, on a 0 segment, pour 1, on en a 0, pour 2, 0 + 1 = 1; pour 3, 1 + 2 = 3; ainsi de suite
Est-ce qu'il y aurait une démonstration plus mathématique ?
Merci d'avance
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#2 29-01-2010 06:15:57
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : Nombre de segments à partir des points d'un cercle
Bonjour,
je pense qu'il y a exactement [tex]\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}[/tex] segments de droite joignant deux à deux n points distincts sur un cercle.
En particulier, on retrouve les 4 cas évoqués.
Bis bald
Dernière modification par freddy (29-01-2010 06:16:24)
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#4 29-01-2010 15:06:25
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : Nombre de segments à partir des points d'un cercle
Ok je reprends.
Pour n = 3, on a bien trois segments qui relient 3 points distincts sur un cercle quelconque.
Supposons que la formule [tex]\frac{n(n-1)}{2}[/tex] soit exacte pour n points et ajoutons un point distinct supplémentaire.
Il permet de former n segments à ajouter aux [tex]\frac{n(n-1)}{2}[/tex] segments précédents. On en a ainsi : [tex] n(1+\frac{n-1}{2}) = \frac{(n+1)n}{2}=\binom{n+1}{2}[/tex]
Par récurrence, la formule est donc exacte pour tout n supérieur ou égal à 3.
Puisqu'avec la même formule, on a bien 0 si n = 0 ou 1, et 1 si n = 2, on peut donc en conclure qu'elle est valable pour tout n élément de IN.
Q. E. D
Bb
Dernière modification par freddy (29-01-2010 15:39:59)
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