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osier

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suite et inegalite [Résolu]

bonsoir
sachant que  U(n+1)= ((2n+1)/(2n+2)) * Un
                   V(n+1)= ((2n+2)/(2n+3)) * Vn
je dois montrer par recurence que 
                  2U(n+1) > Vn

je suis arrive a montrer que  2U(n+2) *  [ ((2n+2) / (2n+3)) * ((2n+2) / (2n+1)) ]   > V(n+1)
or ((2n+2)/(2n+3)) *((2n+2)/(2n+1)) > +1.donc ma proposition est partiellement vraie  mais incomplete ?(je pense)

un grand merci a ceux qui pourront m'aider et me montrer la demonstration
a bientot

freddy

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Re : suite et inegalite [Résolu]

Salut,

pour démontrer une relation par récurrence, il faut d'abord montrer qu'elle est vraie pour une valeur de n particulière.

Dans ton cas, je prendrais n= 0.

On a facilement U(1)=U(0)/2 et V(1)=2V(0)/3, mais nous ne savons rien sur les deux valeurs initiales U(0) et V(0). Il est alors difficile de comparer 2U(1)=U(0) avec V(0).

Que peux tu nous dire ?

osier

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Re : suite et inegalite [Résolu]

reponse a freddy
U0=1  et V0=1: U1= 1/2 ;V1=2/3

osier

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Re : suite et inegalite [Résolu]

excuse moi freddy je dois laisser l'ordinateur a une autre personne et je ne pourrai pas consulter une eventuelle reponse avant demain.
en tout cas merci de t'interesser a mon probleme
a demain.

freddy

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Re : suite et inegalite [Résolu]

hello,

je reformule sous latex :

[tex] U_{n+1}= \frac{2n+1}{2n+2}\times U_n\;et\;U_0=1[/tex]

[tex] V_{n+1}= \frac{2n+2}{2n+3}\times V_n \;et\;U_0=1[/tex]

On a bien [tex]2\times U_1 = 1 > V_0 = \frac{2}{3}[/tex]

Supposons vraie la relation suivante à un rang p quelconque :

[tex]2\times U_{p+1} > V_p[/tex] ce qui revient à écrire [tex]\frac{U_{p+1}}{ V_p} > \frac{1}{2}[/tex]

Considérons alors : [tex]\frac{U_{p+2}}{ V_{p+1}} = \frac{(2p+3)^2}{4(p+2)(p+1)}\times \frac{U_{p+1}}{ V_p}[/tex]

Par hypothèse, on a [tex]\frac{U_{p+1}}{ V_p} > \frac{1}{2}[/tex] et on vérifie que [tex]\frac{(2p+3)^2}{4(p+2)(p+1)}= \frac{4(p+2)(p+1)+1}{4(p+2)(p+1)}> 1[/tex]

Par conséquent : [tex]\frac{U_{p+2}}{ V_{p+1}} > \frac{1}{2}[/tex]

Donc [tex]si \;2\times U_{p+1} > { V_{p} \; alors\; 2\times U_{p+2}> V_{p+1} [/tex]

(je te suggère de vérifier les calculs)

Conclusion : [tex]\forall n \in \N,\; 2\times U_{n+1} >  V_n[/tex]

Dernière modification par freddy (31-01-2010 11:07:21)

osier

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Re : suite et inegalite [Résolu]

va falloir que j'apprenne a  ecrire sous latex .c'est rellement plus clair.
en tout cas merci freddy pour ton aide. a une autre fois!