Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Léa

Invité

groupe simple

Bonjour,
je tente de comprendre l'exo ci-dessous:

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 150 n'est simple.

Dont la solution est:

Soit, par absurde, G un groupe simple d'ordre 150. La décomposition de 150 en facteurs premiers est 5^2*3*2. Le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G est > 1, congru à 1 modulo 5 et divise 6, donc est égal à 6. Donc (théorie) G est isomorphe à un sous-groupe de A6, ce qui est absurde, puisque l'ordre de G est divisible par 25 et que A6 ne l'est pas.

Je ne comprend pas la partie en gras, pourquoi ne peut-il pas y en avoir qu'un seul?
Si quelqu'un peut m"éclairer je l'en remercie

ciao

Léa

Léa

Invité

Re : groupe simple

Mouais je crois que j'ai compris, on raisonne par l'absurde donc on supose que G non simple, or si le nombre de 5-sous-groupes de Sylow est 1 G n'est pas simple. Ok

Par contre quelqu'un peut me donner le nom de la propriété qui permet de dire
Donc (théorie) G est isomorphe à un sous-groupe de A6 ?
merci

Léa

Invité

Re : groupe simple

Pardon je me suis pas relue il faut lire "G est simple"

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : groupe simple

Bonjour,

  Ce n'est pas du tout trivial!
Notons H1,...,H6 les 5-sous-groupes de Sylow de G.
Alors G agit par conjugaison sur ces sous-groupes, ie, si i et sont fixés [tex]gH_i g^{-1}=H_j[/tex] pour un certain j,
et pour chaque g de G, ceci définit une permutation des 6 sous-groupes de Sylow, qu'on note par exemple [tex]\sigma_g[/tex]
L'application [tex]g\mapsto \sigma_g[/tex] est un morphisme de groupes de G dans [tex]S_6[/tex], et on peut prouver que son image
est contenu dans [tex]A_6[/tex].

J'ai vu que tu avais trouvé l'exercice et la correction dans Wikiversité. A mon avis, tu n'auras jamais quelque chose d'aussi difficile!

Fred.

Léa

Invité

Re : groupe simple

Ok merci ça m'a aidé :-)