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Hoch54

Invité

Aide sur les ensembles et les dénombrements

Bonjour,

j'ai besoin d'aide pour un exercice sur les ensembles et dénombrements:
calculer   [tex]{S}_{n}=\sum^{n}_{k=0}[/tex]  [tex]{\left(-1\right)}^{k}{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex]
et  [tex]{T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex]

On m'a donné quelques indications, par exemple, résonner sur un produit de 2 polynômes de degré n et m écrits avec une somme.

(PQ)(x)= [tex]\sum^{n+m}_{k=0}\left(\sum^{k}_{ i=0}{a}_{i}{b}_{k-i}\right){x}^{k}[/tex]

Par exemple pour la première somme, prendre le coefficient de [tex]{x}^{n}[/tex] dans le produit PQ où  [tex]{\left(-1\right)}^{k}[/tex] [tex]\left({\,}^{n}_{k}\right)[/tex]   coefficient de  [tex] {x}^{k}[/tex] dans P et  [tex]\left({\,}^{n}_{n-k}\right)[/tex] coefficient de  [tex]{x}^{n-1}[/tex] de Q.

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.

Fred

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Re : Aide sur les ensembles et les dénombrements

Bonjour,

  On t'a assez bien guidé!
Pour calculer [tex]S_n[/tex], tu peux prendre comme polynômes

[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=(x-1)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}[/tex]

Tu cherches alors le coefficient devant [tex]x^n[/tex] dans le produit PQ.
D'une part, avec la forme détaillée, il vaut :
[tex]\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}^2.[/tex]
D'autre part, on peut le retrouver à partir de la formule du binome et de
[tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex]

Tu peux considérer [tex]P(x)=(x+1)^n[/tex] et [tex]Q(x)=P'(x)=n(x+1)^{n-1}[/tex]
Regarde ensuite le coefficient devant [tex]x^n[/tex] du produit PQ.

Fred.

Hoch54

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Re : Aide sur les ensembles et les dénombrements

Bonjour,

  On t'a assez bien guidé!
Pour calculer [tex]S_n[/tex], tu peux prendre comme polynômes

[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=(x-1)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}x^{n-k}[/tex]

Tu cherches alors le coefficient devant [tex]x^n[/tex] dans le produit PQ.
D'une part, avec la forme détaillée, il vaut :
[tex]\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}^2.[/tex]
D'autre part, on peut le retrouver à partir de la formule du binome et de
[tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex]

Tu peux considérer [tex]P(x)=(x+1)^n[/tex] et [tex]Q(x)=P'(x)=n(x+1)^{n-1}[/tex]
Regarde ensuite le coefficient devant [tex]x^n[/tex] du produit PQ.

Fred.

Si j'applique le binome de Newton à [tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex], j'obtiens comme coefficient devant  [tex]{x}^{k}[/tex] :

[tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}[/tex] , je dois encore la réduire?

Pour la seconde somme, je ne vois pas comment arriver, j'avais eu l'idée de partir avec une dérivée pour faire apparaitre le k mais après je n'ai toujours pas compris.

Fred

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Re : Aide sur les ensembles et les dénombrements

Si j'applique le binome de Newton à [tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex], j'obtiens comme coefficient devant  [tex]{x}^{k}[/tex] :

[tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}[/tex] , je dois encore la réduire?

Euh, non, si tu appliques la formule du binôme, le coefficient devant x^k n'est pas une somme....c'est un coefficient binomial.
Il vaut 0 si k est impair et .... si k=2p.

]Pour la seconde somme, je ne vois pas comment arriver, j'avais eu l'idée de partir avec une dérivée pour faire apparaitre le k mais après je n'ai toujours pas compris.

Tu as :
[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n nk\binom{n}k x^{k-1}[/tex]
Si tu cherches le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] du produit QP, tu trouves
[tex]\sum_{k=1}^n nk\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=nT_n^2[/tex]
Maintenant,
[tex]QP=n(x+1)^{2n-1}[/tex] et on peut retrouver le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] à l'aide de la formule du binôme
(et ce n'est pas une somme!)

Fred.

Hoch54

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Re : Aide sur les ensembles et les dénombrements

Si j'applique le binome de Newton à [tex]PQ(x)=(x^2-1)^n[/tex], j'obtiens comme coefficient devant  [tex]{x}^{k}[/tex] :

[tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}[/tex] , je dois encore la réduire?

Euh, non, si tu appliques la formule du binôme, le coefficient devant x^k n'est pas une somme....c'est un coefficient binomial.
Il vaut 0 si k est impair et .... si k=2p.

]Pour la seconde somme, je ne vois pas comment arriver, j'avais eu l'idée de partir avec une dérivée pour faire apparaitre le k mais après je n'ai toujours pas compris.

Tu as :
[tex]P(x)=(x+1)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k[/tex]
[tex]Q(x)=n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^n nk\binom{n}k x^{k-1}[/tex]
Si tu cherches le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] du produit QP, tu trouves
[tex]\sum_{k=1}^n nk\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=nT_n^2[/tex]
Maintenant,
[tex]QP=n(x+1)^{2n-1}[/tex] et on peut retrouver le coefficient devant [tex]x^{n-1}[/tex] à l'aide de la formule du binôme
(et ce n'est pas une somme!)

Fred.

Je suis désolé mais je n'arrive toujours pas à comprendre.
J'applique le binôme de Newton à [tex](x^2-1)^n[/tex], j'obtiens bien:  [tex]\sum^{n}_{k=0}\left({\,}^{n}_{k}\right){\left(-1\right)}^{n-k}{x}^{2k}[/tex]

Le coefficient pour  [tex]{x}^{n}[/tex] est donc atteint pour k=n/2 cela donne:
[tex]\left({\,}^{\,n}_{\frac{n}{2}}\right){\left(-1\right)}^{n/2}[/tex]

mais j'imagine que ce n'est pas que je dois faire :s

Fred

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Re : Aide sur les ensembles et les dénombrements

Re-

  Ben si c'est ca...
Sauf que ca ne marche que si n est pair, sinon il n'y a pas de coefficients devant x^n...
et donc la somme fait 0.

F.

Hoch54

Invité

Re : Aide sur les ensembles et les dénombrements

Merci beaucoup pour ton aide, j'ai enfin compris:

[tex]{S}_{n}=\sum^{n}_{k=0}[/tex]  [tex]{\left(-1\right)}^{k}{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex]= [tex]\left({\,}^{\,n}_{\frac{n}{2}}\right){\left(-1\right)}^{n/2}[/tex] si n est pair, 0 sinon.

et

[tex]{T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k{\left({\,}^{n}_{k}\right)}^{2}[/tex] = [tex]n\left({\,}^{2n-1}_{\,\,\,n}\right)[/tex]

J'ai eu du mal mais j'ai enfin terminé. Merci encore.