Forum de mathématiques - Bibm@th.net

quillet

Membre

Inscription : 16-01-2010

Messages : 9

Aires des triangles [Résolu]

bonsoir,

quelqu'un aurait il une formule pour calculer la surface d' un quadrilatère qui ne possède qu' un seul angle droit?
est ce qu'il faut a tout prix utiliser pythagore en formant de nouveaux triangles rectangles ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Aires des triangles [Résolu]

Re,

De quoi disposes-tu encore ?
De la longueur des côtés ? Et lesquels ?
De la valeur des angles ? Et lesquels ?

Parce que là, c'est très vague...

@+

quillet

Membre

Inscription : 16-01-2010

Messages : 9

Re : Aires des triangles [Résolu]

disons le quadril.ABCD
AB=41.50 m
BC=68m
CD=36.50m
DA=71.00
A est aigu
B est obtu
C est droit
D est obtu
c'est tout ce que j'ai

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Aires des triangles [Résolu]

Salut,

A priori comme ça, je ne vois pas 36 solutions...
J'en vois quand même 2, dont une que tu ne connais peut-être pas et qui permet de calculer les angles d'un triangle quelconque (Théorème d'Al-Kashi)...
Je vais prendre la solution "basique" mais bestialement calculatoire...
Feu !
Je commencerais par matérialiser les triangles BCD (rectangle en C) et BAD quelconque.
1. Je peux calculer facilement l'Aire du triangle BCD
2.  Je calcule la longueur BD de l'hypoténuse : [tex]\sqrt{68^2+36.5^2}[/tex] que je désignerai par a dans les calculs ci-après...
3. Je trace la hauteur [AH] relative à [BD] dont je note h la longueur. Si j'avais la mesure de l'angle DBA (via Al-Kashi) j'aurais h, en 2 coups de cuiller à pot...
4. Donc, je vais m'en passer. Je note BH = x et DH = y. J'obtiens une première équation : x + y = a
5. Grâce à Pythagore j'ai en outre h² = 41.5² - x² et h² = 71² - y²
6. J'en tire h² = 41.5² - x²  = 71² - y² et donc y² - x² = 71² - 41.5²
7. J'ai donc à résoudre le système :
     [tex]\begin{cases} x + y &= a \\ y^2 - x^2 &= 71^2 - 41.5^2[/tex]
8. Heureusement y² - x² = (y + x) (y - x) ce qui me permet de déduire y-x (je note b sa valeur) connaissant  x+y
9. Enfin je tombe sur ce dernier système :
    [tex]\begin{cases} x + y &= a \\ y - x &= b[/tex] d'où tu tires x ou y (un seul suffit)
10.  Maintenant Pythagore va te permettre d'obtenir h et de calculer l'aire de ABD...
Pfff.... J'ai fini !

@+

quillet

Membre

Inscription : 16-01-2010

Messages : 9

Re : Aires des triangles [Résolu]

salut,

ok bon raisonnement
merci
maintenant je vais checher ce qu'est la methode plus simple (Al-Kashi) !
@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Aires des triangles [Résolu]

Bonjour,

Al-Kashi : trigo dans un triangle quelconque.
Ici
[tex]AD^2= BD^2+BA^2-2BD\times BA\times \cos(\hat{B})[/tex]
D'où :
[tex] \cos(\hat{B})=\frac{BD^2+BA^2-AD^2}{2BD\times BA}[/tex]
ET avec la valeur du cosinus, avec l'Arccosinus, j'en déduis l'angle.

Ensuite, dans le triangle BAH, rectangle en H, je fais :
[tex]\sin(\hat B)=\frac{AH}{AB}[/tex]
Et enfin
[tex]AH=AB\times \sin(\hat B)[/tex]
Ca écourte pas mal les calculs.
Je vais tâcher de les faire tout à l'heure...

@+

[EDIT]
Je n'obtiens pas la même valeur pour AH avec l'une ou l'autre méthode :
36.40 contre 37.82 avec Al Kashi...
Diable ! Diable ! C'est la première fois que ça m'arrive... Et les calculs ont été refaits, sans plus de succès...
Je vais creuser un peu plus tard.

quillet

Membre

Inscription : 16-01-2010

Messages : 9

Re : Aires des triangles [Résolu]

salut,
c'est marrant parceque avec la methode de système d'équation que tu m'as montrée j'ai trouvé
dans le triangle ABH 37.78
dans le triangle AHD 37.96
mais c'est pas trop méchant car c'était juste pour calculer l'aire d' un terrain
dans ces dimensions nous ne sommes pas forcément au centimètre près je verrais bien à la correction
par contre la méthode Al-kashi ne m'est pas facile à comprendre

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Aires des triangles [Résolu]

Re,

Résultats définitifs avec le minimum d'arrondis : c'est mieux, mais je ne suis que moyennement satisfait...

BD² =BC²+ CD² = 68² + 36.5² = 4624 + 1332.25 = 5956.25
D'où [tex]BD=\sqrt{5956.25}\approx 77.177[/tex]
J'ai donc déjà [tex]x+y=\sqrt{5956.25}[/tex]

Ensuite [tex]y^2-x^2=71^2-41.5^2=5041 - 1722.25=3318.75[/tex]
D'où
[tex]y-x = 3318.75\div \sqrt{5956.25}\approx 43.002[/tex]
Donc :
[tex]\begin{cases}x+y &= \sqrt{5956.25} \\y-x &= \dfrac{3318.75}{\sqrt{5956.25}}[/tex]
Et :
[tex]x+y-(y-x) = 2x = \sqrt{5956.25}- \dfrac{3318.75}{\sqrt{5956.25}}=\dfrac{2637.5}{\sqrt{5956.25}}[/tex]
D'où
[tex]x=\dfrac{1378.75}{\sqrt{5956.25}}[/tex]
Et enfin :
[tex]AH^2=41.5^2-\left(\dfrac{1378.75}{\sqrt{5956.25}}\right)^2=1722.25 -\dfrac{1900951.5625}{5956.25}=\dfrac{10258151.5625-1900951.5625}{5956.25}[/tex]

[tex]AH^2=\dfrac{8357200}{5956.25} \approx 1403.097587[/tex]
Soit :
[tex]AH \approx 37.46\;m\;\grave a\;1\;cm\;pr\grave e s[/tex]

---------------------------------------------------------------------------------------

Al Kashi
Je repars de [tex]BD=\sqrt{5956.25}[/tex]

J'ai donc : [tex]71^2=5956.26+41.5^2-2\sqrt{ 5956.25}\times 41.5\times \cos\hat B[/tex]

Il vient donc [tex]\cos \hat B =\dfrac{5956.25+1722.25-5041}{2\sqrt{ 5956.25}\times 41.5}\approx 0,411744605..[/tex]
D'où
[tex]\hat B=\arccos\left(\dfrac{5956.25+1722.25-5041}{2\sqrt{ 5956.25}\times 41.5}\right)\approx 65.68552466^\circ[/tex]
Et maintenant :
[tex]AH=41.5\times\sin(\hat B)\approx 37.82 \;m\;\grave a\;1\;cm\;pr\grave e s[/tex]

Je me retrouve avec 36 cm de plus : j'aurais tendance à faire plus confiance au premier résultat...
Mine de rien, il y a 14m² de plus pour le triangle ABD dans le 2e cas...

Je vais voir si j'ai une méthode plus simple...

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Aires des triangles [Résolu]

Bonjour, Bonjour,

J'arrive en me frottant les mains : je tiens ma réponse !
Laquelle est propre à nous enseigner l'humilité...
En effet Heron d'Alexandrie, ingénieur, mécanicien et mathématicien grec du 1er siècle après JC (!!) nous enseigne, outre l'humilité,  que :
* a, b, c étant les longueurs des 3 côtés d'un triangle et s le demi-périmètre,
* L'aire du triangle est donnée par [tex]A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/tex]

Soit ici avec [tex]a=\sqrt{5956.25}\approx 77.1767452,\;b=71,\;c=41.5[/tex], on a
[tex]s\approx 94.8383726[/tex]
et
[tex]A\approx \sqrt{94.8383726(94.8383726-77.1767452)(94.8383726-71)(94.8383726-41.5)}[/tex]
Soit
[tex]A_{BAD}\approx 1459.370583\; m^2[/tex]

Est il s'avère que j'avais tort de préférer la méthode "tout Pythagore" à celle du théorème d'Al Kashi...
En effet, avec cette dernière méthode l'aire obtenue est ... 1459.370583 m²
Et "tout Pythagore" : 1445.441109 m²...
L'écart doit venir des méthodes de calcul des calculettes, il n'y a pas de raison !
Je vais me pencher sur l'emploi du module nommé Decimal du langage python et refaire les calculs pour être fixé.

@+

quillet

Membre

Inscription : 16-01-2010

Messages : 9

Re : Aires des triangles [Résolu]

salut
c'est clair, avec cette formule c'est bien plus simple bien plus rapide et surtout bien plus précis je le saurais pour la prochaine fois en tout cas merci bien