Combinaisons d'options [Résolu]

alb05 · 16-01-2010 07:19:50

Comment calculer le nombre de combinaisons possibles parmi une liste de 7 options de voiture.
Exemple d'options proposées : DA VE FC PMI RGV CL RD
DA : Direction Assistée
VE : Vitres électriques
FC : Fermeture Centralisée
PMI : Peinture Métal Intégrale
RGV : Régulateur de Vitesse
CL : Climatisation
RD : Radio CD MP3 6HP

DA VE FC PMI RGV CL RD
A0 1
A1 1 1
A2 1 1 1
A3 1 1 1 1
A4 1 1 1 1 1
A5 1 1 1 1 1 1
A6 1 1 1 1 1 1
A7 1 1 1 1 1 1 1
A8 1 1
A9 1 1 1
B1 1 1 1 1
B2 1 1 1 1 1
B3 1 1 1 1 1 1
... / ...

Je peux associer de 1 à 7 options entre elles.
Combien de combinaison sont possibles ?

Je souhaite codifier chaque combinaison avec un code alphanumérique de 2 caractères; est-ce suffisant ?
1er caractère = de A à Z + 0 à 9
2ème caractère = de A à Z + 0 à 9

merci

freddy · 16-01-2010 09:25:26

Bonjour ?

C'est une interrogation écrite surprise ? Un ordre ? Un devoir sur table ? Tu ramasses les copies dans 20 minutes ?

Je te propose d'ajouter à ta voiture une huitième option (obligatoire celle là) : la politesse.

freddy · 16-01-2010 09:34:02

Bonjour,

le nombre de combinaisons possibles est égal à : [tex] \sum_{p=1}^7\binom{7}{p}=2^7-1=127[/tex]. En effet, il faut éliminer le cas "pas d'option".

Oui, ta codification sera suffisante, voire excessive.

Au revoir.

Dernière modification par freddy (16-01-2010 09:35:49)

alb05 · 16-01-2010 11:26:24

Bonjour freddy,
désolé d'avoir manqué de politesse et j'acquiesce volontiers le reproche.
Merci de ta réponse et donc de ton aide.
Si j'ajoute une 8ème option, je peux en déduire que j'aurai (2^8)-1 = 255 combinaisons.

Quant à la codification alphanumérique proposé sur 2 caractères, combien de possibilités cela me donne t'il, svp.
Cette limite déterminera le nombre d'options que je pourrai codifier.
Merci.

freddy · 16-01-2010 12:13:32

Re,

si tu codes sur deux caractères comme tu le proposes, tu as 26*10 = 260 possibilités.

Ça te convient ?

Si tu prends le nouveau système d'immatriculation des automobiles (2 lettres - 3 chiffres- 2 lettres), tu as : 26*26*10*10*10*26*26 = 456.976.000 plaques possibles (un peu moins s'il y a des combinaisons réservées ou interdites).

Bonne journée !

alb05 · 16-01-2010 12:25:01

Je suis surpris du si peu de possibilités d'une codification sur 2 caractères.
Certes, il y a la codification A0 à A9 puis B0 à B9 ==> 26 * 10
mais il y a aussi les cas suivants :
00 01 02 03 04 .. 10 11 12 13 .... 99
mais aussi
0A 0B 0C .. 0Z .... 9A 9B.. 9Z
mais aussi
AB AC .. AZ .... ZA ZB . ZZ
Alors comment en calculer le nombre ?

freddy · 16-01-2010 13:10:44

Tout dépend de la formulation de la question !!!

Si tu veux utiliser tout le répertoire alphanumérique comme tu le décris, tu as :

[tex]10^2 + 26^2 + 2\times10\times26 = 100+676+520=1.296[/tex]

combinaisons possibles.

Une autre précision ?

Oui, j'en anticipe une : et combien d'options puis je alors combiner ?

Simple. C'est l'entier n tel que [tex]2^n-1 = 1.296[/tex]

On a [tex] \ln(n) = \frac{\ln(1297)}{\ln(2)}=10,34[/tex]

Soit n = 10 par défaut (car entier) !

Dernière modification par freddy (16-01-2010 13:13:17)

alb05 · 16-01-2010 18:56:11

Excellent et merci, c'est exactement la réponse à mes questions.
Je sais ainsi qu'avec une codification à 2 caractères, je suis limité à 10 options à combiner.

Et si j'avais une codification sur 3 caractères alphanumériques, est ce que ça donnerait : 10^3 + 26^3 + 3 x 10 x 26 = 19359 codes ?

et 3^n -1 = 19359
donc ln(19360) / ln(3) => 8.98
ce qui me semble faux car cela signifie que ma limite est à 8 options, c'est à dire encore moins qu'avant.

Peux tu encore m'aider, stp, sur ce coup.
Merci

Dernière modification par alb05 (16-01-2010 18:56:49)

freddy · 17-01-2010 01:12:46

Salut,

en effet, c'est faux ! Pour 3 caractères alphanumériques A...Z0...9, on a :
[tex]10^3 + 26^3 + 3\times10^2\times26 + 3\times10\times26^2 = (10+26)^3= 46.656 [/tex] combinaisons possibles.

Le nombre n d'options vérifie : [tex] 2^n -1 = 46.656 \iff n=\frac{\ln46.657}{\ln2}[/tex]

Soit n = 15 par défaut.

Maintenant, si tu veux retenir p caractères (p entier >0), le nombre n d'options est la partie entière de :

[tex] \frac{\ln((10+26)^p+1)}{\ln2}\approx\frac{2p\ln6}{\ln2}=2p\times (1+\frac{\ln3}{\ln2})\approx 5,17\times p[/tex]

Qu'en penses tu ?

Dernière modification par freddy (17-01-2010 01:24:33)

alb05 · 17-01-2010 07:06:18

Bonjour,
ce que j'en pense ? :
Que du bien puisqu'avec cette formule tu es arrivé à déterminer un coefficient de relation entre le nombre d'options souhaitées et le nombre de caractères nécessaires pour codifier les combinaisons de ces options :
Ainsi, j'ai ce tableau de correspondance évolutif:

Longueur du code ! Coef ! Nb d'options
1 ! 5,17 ! 5
2 ! 5,17 ! 10
3 ! 5,17 ! 15
4 ! 5,17 ! 20
5 ! 5,17 ! 25
6 ! 5,17 ! 31
7 ! 5,17 ! 36
8 ! 5,17 ! 41
9 ! 5,17 ! 46
10 ! 5,17 ! 51
11 ! 5,17 ! 56

Donc je sais que si j'ai 28 options à gérer, il me faudra au minimum un code avec 6 caractères car 5 ce serait trop juste.

Peut on également associer à ce tableau une formule permettant de calculer le nombre de combinaisons gérables par cet longueur de code ? :
Longueur du code Nb de combinaisons
2 1296
3 46656

Merci
... ......

freddy · 17-01-2010 11:34:38

Salut,

si tu reprends depuis le début, tu as la relation simple suivante, sauf erreur :

[tex](10+26)^p=6^{2p}[/tex]

où p est le nombre de caractère du code.

Le coefficient 5,17 n'est qu'une valeur approchée, la valeur exacte est 2ln(6)/ln(2).

Bis bald

Dernière modification par freddy (17-01-2010 11:40:34)

alb05 · 17-01-2010 13:45:37

Merci beaucoup pour toutes ces réponses.
J'ai ainsi un tableau synthétique et évolutif du nombre de scénarios de codifications de combinaisons.

Longueur du Nb de combinaisons
code avec la longueur du code Coef code ~ options Nb d'options
1.......................36......................................................5,17..................5
2.......................1 296 ..................................................5,17.................10
3.......................46 656..................................................5,17.................15
4.......................1 679 616...............................................5,17.................20
5.......................60 466 176..............................................5,17.................25
6.......................2 176 782 336...........................................5,17.................31
7.......................78 364 164 096..........................................5,17.................36
8.......................2 821 109 907 456.......................................5,17.................41
9.......................101 559 956 668 416.....................................5,17.................46
10......................3 656 158 440 062 980...................................5,17.................51
11......................131 621 703 842 267 000.................................5,17.................56

encore merci et bonne fin de week-end.

freddy · 18-01-2010 10:06:18

Salut,

cela étant, 56 options sur une voiture, ce n'est plus une voiture, c'est une déclaration d'impôts :-)

Bis bald

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 16-01-2010 07:19:50

Combinaisons d'options [Résolu]

#2 16-01-2010 09:25:26

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#3 16-01-2010 09:34:02

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#4 16-01-2010 11:26:24

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#5 16-01-2010 12:13:32

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#6 16-01-2010 12:25:01

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#7 16-01-2010 13:10:44

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#8 16-01-2010 18:56:11

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#9 17-01-2010 01:12:46

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#10 17-01-2010 07:06:18

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#11 17-01-2010 11:34:38

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#12 17-01-2010 13:45:37

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

#13 18-01-2010 10:06:18

Re : Combinaisons d'options [Résolu]

Pied de page des forums