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krist

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Trigo 1ère S [Résolu]

Voilà voilà, bonjour !

Je bloque sur une belle petite question. Le seul problème est que l'exercice est un tant soit peu complexe à expliquer.

Nous avons un carré ABCD de côté 1. H est le milieu de [AB] et K est le milieu de [DC]. Sur ce segment, on a des points E et F tels que EF = 1 - tan de l'angle alpha. (ça c'est sûr : je l'ai vérifié)

Angle alpha = angle HBE.

On me demande ainsi d'exprimer EB en fonction de alpha. Je suis sûr d'avoir déjà fait exercice de ce genre mais je ne retrouve plus la solution.

Toute aide est la bienvenue.

Merci

yoshi

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Salut,

H mileu de [AB], donc HB = 1/2
K est le milieu de [DC], on prouve facilement que (HK) // ((BC) et que l'angle H est droit.
Ainsi le triangle HBE est rectangle en H.
Dans ce triangle :
[tex]\widehat {HBE}=\alpha\text{ et }\cos \alpha = \frac{BH}{EB}[/tex]
D'où
[tex]EB=\frac{BH}{\cos \alpha}=\frac{1}{2\cos \alpha}[/tex]

Ce qui m'étonne dans cet énoncé, ou alors ce n'était pas clair, c'est que la précision apportée [tex]EF = 1 - tan \alpha[/tex] ne sert à rien...

Tes points H, E, F, K sont-ils dans cet ordre ?
Pourquoi n'as-tu pas reproduit l'énoncé : tu plaçais ton bouquin ou ta feuille sur la vitre d'un scanner et tu passais un coup d'OCR, et après, hop, Copier/Coller...
Si tru décris une image, alorsq un petit coup de scanner, et tu places ton image chez imageshack.us, photobucket...  etc
Et tu plaçais son adresse entre 2 balises [ img] et [ /img] (sans espace après le crochet ouvrant)...

@+

krist1

Invité

Re : Trigo 1ère S [Résolu]

C'est moi.

http://bernard.provost1.free.fr/cahierd … 7_dm10.doc

Voici l'énoncé en question, tu peux voir que je pouvais pas faire mieux. ^^

Concernant ta réponse, c'est ce que j'avais trouvé, pareil, mais j'avais un doute parce que ça me semblait un peu... invraisemblable...

Merci.

S'il vous plait : ne fermez pas ce topic tout de suite, il se peut que j'ai besoin d'aide pour la suite, ok ? merci

yoshi

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Salut,

Ok ! C'est bon... Je ne ferme pas un topic avant une dizaine voire une quinzaine de jours, surtout si son auteur se manifeste.  Pas de souci...
Ce n'est pas tout à fait ce que tu as écrit, tout de même...
Il faut démontrer que [tex]EF = 1 - tan\, \alpha[/tex], ce n'est pas une donnée...
Et j'ai bien l'impression (en fait c'est une quasi-certitude) que [tex]\widehat {DCF}=\alpha[/tex]...
Je regarderai ça d'un peu plus près, demain.
Mon lit m'attend maintenant ;-)

Nenuit !

@+

freddy

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Salut,

grâce à la PJ, on voit que : [tex]EF = HK - 2HE[/tex] ; On sait que [tex]\tan\alpha = \frac{HE}{HB}=\frac{HE}{2}[/tex]

Donc [tex]EF = 1-\tan\alpha[/tex]

Par définition, on a [tex]EB = \frac{HB}{\cos\alpha} = \frac{1}{2\cos\alpha}[/tex]

Donc [tex]f(\alpha) = EF + 4\times EB =1-\tan\alpha+ \frac{2}{\cos\alpha}= 1+\frac{2-\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]

L'angle [tex]\alpha[/tex] est compris entre 0 et [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] car pour cette dernière valeur, les points E et F sont confondus (intersection des deux diagonales du carré).

La fonction f est continue et dérivable sur l'intervalle ci-dessus comme somme et quotient de fonctions continues et dérivables sur cet intervalle. On a :

[tex]f'(\alpha) = \frac{-\cos\alpha\times \cos\alpha+\sin\alpha\times (2-\sin\alpha)}{\cos^2\alpha}= \frac{2\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha}[/tex] qui est du signe de [tex]2\sin\alpha - 1[/tex] puisque son dénominateur est > 0.

Etude du signe de la dérivée : (...)

Dernière modification par freddy (12-01-2010 01:29:06)

freddy

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

(...)

tableau du signe de f' et de variation de f

[tex]\alpha[/tex] :         0    [tex]\pi/6[/tex]   [tex]\pi/4[/tex]

f'([tex]\alpha[/tex] ) :  -1  -  0  +  [tex]\sqrt2-1[/tex]
=> la fonction f est décroissante de [tex]f(0) = 3[/tex] à [tex]f(\pi/6) =1+\frac{2-0,5}{\sqrt{3}/2}=1+\sqrt3[/tex], puis croissante jusqu'à [tex]f(\pi/4) =1+\frac{2-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=2\sqrt2[/tex]

L'angle [tex]\pi/6[/tex] rend minimum cette fonction, et donc la distance autoroutière reliant les 4 villes A, B, C et D, en passant par E et F.

C'est bon ?

Dernière modification par freddy (12-01-2010 12:04:09)

krist

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Hum, pas exactement.
On me demande de faire un cercle trigonométrique, mais je n'en vois pas réellement l'utilité. Et pour les valeurs dans le tableau, je les justifie comment ?

J'ai un peu du mal à comprendre à ce niveau...

Merci quand même.

freddy

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Salut,

le cas me semble grave, mais pas encore désespéré !!! :-)

Bon, on a f'(0)=2sin(0) - 1 = -1 car sin(0) = 0 (cf cercle trigonométrique !)

f'(pi/6) = 2*sin(pi/6)-1 = 2*(1/2)-1 = 0 et f'(pi/4)=2*sin(pi/4) - 1 = 2*racine(2)/2-1 ...

C'est mieux ?

yoshi

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Re,

Je suis un peu perplexe moi aussi.
Tout ce que je suis capable d'envisager, c'est une espèce de cuisine improbable (totalement artificielle) que voici quand même.
Je trace un cercle trigo.
J'appelle O son centre, (OA) l'axe des cos, (OB) celui des sin et B' le symétrique de B par rapport à O
[tex]2\sin\,\alpha-1= 2\sin\,\alpha+(-1)[/tex]
Je place le point H sur [OB) tel que [tex]\overline{OH_2}=2\sin({\pi \over 4})=\sqrt 2[/tex]
Je tracerais [OH] en bleu par exemple et [OB'] en rouge

Donc, je place maintenant pour [tex]0 \leq \alpha \leq {\pi \over 4}[/tex],un point K sur [OH] en disant que [tex]\overline{OK}=2\sin\,\alpha[/tex]

* Je mettrais une accolade en face de [OB] et j'écrirais à côté de la pointe la légende [tex]2\sin\,\alpha+(-1) < 0[/tex].

* En face de B je mettrais une flèche et j'écrirais à côté  la légende [tex]2\sin\,\alpha+(-1)=0[/tex].
Je placerais alors le milieu M de [OB] en faisant apparaître clairement qu'il s'agit du milieu en codant ce milieu de façon classique avec // de chaque côté de M.
Et je noterais 1/2 en face de M.
Depuis ce 1/2 je mettrais une flèche dirigée vers l'angle à l'intérieur duquel je noterais [tex]{\pi \over 6}[/tex]
La flèche c'est pour montrer que tu pars de [tex]\overline{OM}={ 1\over 2}[/tex] pour trouver l'angle...

* Je mettrais une accolade en face de [BH] et j'écrirais à côté de la pointe la légende [tex]2\sin\,\alpha+(-1)> 0[/tex].

Justification des valeurs dans le tableau ? 0, pi/4 tu as trouvé ça avant, quant à pi/6 tu viens de le trouver.
Je ferais juste un tableau de variation avec ces 3 valeurs avec une flèche pou la décroissance une flèche, pour la croissance etu place le mini que tu auras pris soin de calculer ([tex]1+\sqrt 3[/tex])

J'espère que je me suis fait comprendre...

@+

PS
Hey freddy, tellement absorbé dans ma réponse, que je n'avais pas vu la tienne...
Salut compadre...
Moi, ainsi que tu le vois, j'interprète la demande d'utilisation du cercle trigo comme une obligation de non résolution de l'équation [tex]2\sin\,\alpha -1=0[/tex]...

krist

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Merci à vous deux. J'avais, pour ainsi dire, totalement oublié l'utilisation d'un cercle trigonométrique en ce qui concerne les sinus et cosinus. Dés lors, ton explication m'a parue plus plausible, freddy. Je viens de terminer et de relire et cela me parait juste.

Merci.

freddy

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

salut yoshi,

d'accord avec toi pour la résolution graphique de l'équation, c'est une bonne idée.

J'ai fait le sujet une nuit d'insomnie, mais j'avais en tête que tu passerais le matin pour soigner la pédagogie, voire apporter des précisions techniques, car je ne sais pas trop ce qu'on doit connaître en classe de première aujourd'hui.

yoshi

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Re : Trigo 1ère S [Résolu]

Re,

Merci Maître...
C'est la première fois que je vois une formulation pareille : ce n'est pas l'habitude en 1ere S, ni en TS d'ailleurs.
D'habitude, c'est toujours la procédure classique pure et dure...
En outre, si vraiment, j'ai raison quant à l'interprétation que j'ai fait du codicille manuscrit du prof, cette procédure est très ch... et comme je l'ai faite à l'arrache, il faudrait la peaufiner : c'est plus difficile que de rester dans le classissisme et peut-être pas à la portée de tous les élèves de 1S.
Il leur faut un peu d'imagination, et ce n'est pas vraiment ce qu'on cherche à développer le plus en 2nde l'année précédente.
D'ailleurs, il y a pas de mal de repiquages en fin de 1S ou de réorientation : beaucoup se lancent sur la foi de leurs notes de 2nde (indifférenciée !) et ne supportent pas le choc : pas taillés pour...

@+