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Exercice TS [Résolu]

Tout d'abord bonne année à tous ! Comme à mon habitude j'ai quelques problèmes avec mes exos de maths mais je bloque sur un en particulier dont voici l'énoncé :

"Le plan est rapporté à un repère orthonormal  [tex](O\;;\;\overrightarrow{i}\;;\;\overrightarrow{j})[/tex].
(C) représente le cercle trigonométrique de centre O et Delta la tangente à C en A(1;0).
1. Soit x un nombre réel vérifiant  [tex]0<x<\frac{\pi}{2}[/tex]  et M le point de C tel que [tex]( \overrightarrow{i}\;;\;\overrightarrow{OM})=x+2k \pi,\; k \in\mathbb{Z}[/tex].
H est le projeté orthogonal de M sur (OA) et T le point d'intersection des droites (OM) et Delta. Faire la Figure
a. Montrer que AT= [tex]\frac{\sin x}{\cos x}[/tex] 
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles OMA et OTA
c. Montrer que l'aire du secteur angulaire OAM est égale à  [tex]\frac{x}{2}[/tex]
d. En déduire que, pour tout x  [tex]\in[/tex] ]0; [tex]\frac{\pi }{2}[/tex][ , on a  [tex]\cos x\leq \frac{\sin x}{x}\leq 1[/tex]."

Voila :S La seule chose que j'ai réussi à faire c'est la figure ... Je vous remercie d'avance pour votre aide =)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Exercice TS [Résolu]

Salut,

Merci pour tes voeux : on te les retourne...
Là, c'est un cas d'aveuglement caractérisé, parce que tu as tout sous ton nez : probablement cherches-tu trop compliqué !

Bon
1. a) (AT) tangente en A et H projeté orthogonal de M sur [OA) donc les droites (MH) et (AT) sont parallèles et à partir de là, ça me rappelle furieusement -au choix- Thalès ou homothétie.
Dans les deux cas :
[tex]\frac{\overline{AT}}{\overline{HM}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OH}}[/tex]
x >0 et l'angle étant inférieur à pi/2 + 2k.pi, alors dans le triangle (O,H,M) [tex]\overline{AT},\;\overline{HM},\;{\overline{OA}\;et\;{\overline{OH}[/tex] sont positifs, donc je parlerai de longueurs :
[tex]\frac{AT}{HM}=\frac{OA}{OH}\Leftrightarrow \frac{AT}{OA}=\frac{HM}{OH}[/tex].
Et puisque (C) est le cercle trigo HM/OH = sin x/cos x.
On peut aussi partir des 2 triangles OHM et OAT respectivement rectangles en H et A et remarquer que
[tex]\ tan(\overrightarrow{OH}{\;;\;\overrightarrow{OM}) = tan(x+2k\pi)=\tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{AT}{OA}[/tex] avec OA = 1...

b) Aire du triangle OMA : [tex]\frac{MH \times OA}{2}[/tex], Mh = sin x, OA = 1
    Aire du triangle OTA : [tex]\frac{AT \times OA}{2}[/tex]

c) Tu dois vouloir parler de secteur circulaire...
    Formule : l'aire d'un secteur circulaire de rayon R et d'angle [tex]\alpha[/tex] vaut [tex]{1 \over 2}R^2\alpha[/tex]
    Ici [tex]R=1\;et\; \alpha = x[/tex]

d) Dans l'ordre, tu as :
    Aire(triangle OMA) <= Aire (secteur OMA) <= Aire(triangle (OAT)
    Avec les questions précédentes et un peu de "cuisine", tu vas tomber sur la formule demandée...

@+