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yacht

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Corps de matrices

Bonjour, j'ai un petit problème:

On pose R= { matrice( a  b ) , avec a,b dans Z/pZ } p premier
                                 -b  a

j'ai réussi à montrer que R était un sous-anneau commutatif de l'ensemble des matrices carré 2*2 d'éléments Z/pZ
Il me reste à montrer que R est un corps ssi p congru à 3 modulo 4.

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Corps de matrices

Bonjour,

  Voici une piste.
Si une matrice de R est inversible (dans l'anneau des matrices 2*2 à coefficients dans Z/pZ), on connait la forme de son inverse (par les formules de Cramer), et on vérifie facilement qu'elle est encore dans R.
Ainsi, il convient de prouver que toute matrice non-nulle de R est inversible (dans l'anneau des matrices 2*2 à coefficients dans Z/pZ).
Pour cela, on peut étudier son déterminant qui est a²+b². Il ne doit pas être nul dans Z/pZ.
Ceci te conduit à étudier les entiers qui sont somme de deux carrés..... Tu connais sans doute des choses dessus (cf par exemple l'anneau des entiers de Gauss).

Fred.