Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tipha

Membre

Inscription : 03-01-2010

Messages : 5

les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

Bonjour
J'ai un problème a cet exercice de maths j'aurais besoin d'un coup de main svp.
voici l'énoncé:

On part d'un triangle equilatéral de côté 10.
A chaque étape, on construit dans chaque triangle equilatéral (non coloré), le triangle équilatéral (coloré) ayant pour sommets les milieux des côtés.
On s'interesse à l'aire Sn et au périmètre Pn de ka surface colorée à la n-ième étape.

1a) Expliquez pourquoi quelque soit l'entier n,
Sn < 25 racine de 3
b) Conjecturer le sens de variation de Sn et de Pn et leur limite éventuelles lorsque n tend vers l'infini.
2) Exprimez Sn et Pn en fonction de n, puis on doit déterminer les limites de Sn et Pn en + l'infini si elles existent.

Pour la1er question je pense avoir réussi mais les autre je nage un peu... je ne comprend meme pas le sens de 'conjecturer':$ aidez moi s'il vous plait
merci d'avance

Thibault

Membre

Inscription : 03-01-2010

Messages : 40

Re : les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

Bonjour Tipha,

Quelques idées pour ton problème :

1a) Quelle est 'aire du triangle de départ? Est-ce que l'air Sn peut être plus grande que celle-ci ?
1b) Conjecturer veut dire émettre une hypothèse. Non pas une hypothèse au sens mathématique mais bien au sens courant, qqch que tu penses être vrai mais que tu ne peux pas (encore) démontrer. On te demande de deviner :)

D'après toi, si tu colories un peu plus à chaque étape, est-ce que l'aire coloriée va augmenter? diminuer? Et le périmètre?
Pour les limites, est-ce que tout le triangle de départ va finir par être colorié? ou pas? Est-ce que le périmètre peut devenir arbitrairement grand?

2) Maintenant on démontre.

Tu es d'accord qu'à la première étape on colorie 1/4 du triangle. Si je note A1 l'aire à la première étape et A l'aire du triangle de départ, j'ai :

[tex]A_{1}=\frac{A}{4}[/tex]

à la deuxième étape j'ai quatre triangles de même taille que A1, l'un est colorié entièrement, les trois autres au quart, ou :

[tex]A_{2}= A_{1}+3\cdot \frac{A_{1}}{4}= \frac{A}{4}+3\cdot\frac{A/4}{4}
    =(1+\frac{3}{4})\cdot \frac{A}{4}[/tex]

A la troisième étape tu auras [tex]A_{3}=(1 + \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^{2})\cdot \frac{A}{4}[/tex]

Par récurrence tu vas réussir à montrer que [tex]A_{n}=(1 + \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^{2}+\cdots+ (\frac{3}{4})^{n-1})\cdot \frac{A}{4}[/tex]

Question : Est-ce que cette valeur admet une limite à l'infini, i.e. est-ce que la série [tex]\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{4})^{n}[/tex] converge ?

Fais la même démarche pour le périmètre et ton exercice sera fini.

Salutations,

Thibault

tipha

Membre

Inscription : 03-01-2010

Messages : 5

Re : les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

merci :)

tipha

Membre

Inscription : 03-01-2010

Messages : 5

Re : les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

1a) Quelle est 'aire du triangle de départ?  C'est 25racine de 3
Est-ce que l'air Sn peut être plus grande que celle-ci ?
Je pense que oui mais je n'arrive pas à le démontrer

b) D'après toi, si tu colories un peu plus à chaque étape, est-ce que l'aire coloriée va augmenter? Diminuer? Elle va je pense augmenter vu que j'en ajoute.
Et le périmètre? De même pour le périmètre
Pour les limites, est-ce que tout le triangle de départ va finir par être colorié? ou pas? Est-ce que le périmètre peut devenir arbitrairement grand? Je n'est pas tout compris :s

je n'est pa compris ta question :s :$

tipha

Membre

Inscription : 03-01-2010

Messages : 5

Re : les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

si je fait pareil pour le périmetre que pour l'aire a la question 2 je trouve pareil non?

Dernière modification par tipha (03-01-2010 17:55:33)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

Bonjour,
 
  Je complète un peu les réponses de Thibault.
* Si une figure est contenue dans une autre, son aire est nécessairement plus petite...
Tu colories une partie du triangle, c'est normal que l'aire de ce que tu colories est plus petite que l'aire du triangle.
D'après le calcul que Thibault t'a fait faire, on trouve le résultat de la première question.
* C'est normal que tu ne comprennes pas la question de Thibault car il emploie un vocabulaire que tu ne peux pas maitriser. En revanche, pour déterminer la limite de [tex]S_n[/tex] (ou [tex]A_n[/tex], je ne sais plus...), remarque que tu obtiens une somme géométrique que tu peux assez facilement déterminer.
* Pour le périmètre, tu ne divises pas par 4, mais simplement par 2 (les côtés sont à chaque étape deux fois plus petits). Pour le reste, la démarche est la même.

Fred.

tipha

Membre

Inscription : 03-01-2010

Messages : 5

Re : les triangles de Sierpinski 1ereS [Résolu]

merci beaucoup j'ai rendu mon exercice cet aprés midi je meterrais sans doute la correction si cela peu en aider d'autre
merci a vous 2 :)