Trigonométrie [Résolu]

Estelle · 13-12-2009 18:02:51

bonsoir

j'ai cet exercice que je n'arrive pas a faire

le demi-cercle ci-dessus de centre B et de diametre [AC] a pour rayon 1

http://img262.imageshack.us/img262/9003/photos0004w.jpg

1) démontrer les égalités suivantes :

cos â = AH/AM

cos â = AM/AC

AH = 1 + cos b

en déduire l'égalité : cos²â =1 + cos b / 2

2) comparer les mesures des angles â et b

(j'arrive pas a faire le chapeau sur le b )

en déduire que pour tout angle â dont la mesure est comprise entre 0 degres et 45 degres l'égalté
cos²â = 1 + cos2â /2 est vérifiée

3) application

a) sachant que cos 30° = racine carrée de 3 /2 démontrer que cos² 15° = 2 + racine carrée de 3 /4

b) vérifier que cos 15° = racine carrée de 6 + racine carrée de 2 /4

si vous pouviez m'aider je ne comprends rien du tout

yoshi · 13-12-2009 19:51:21

Bonsoir,

si vous pouviez m'aider je ne comprends rien du tout

Je veux bien te croire...
D'autant qu'à partir de la fin de la 1ere question, dans tes écritures ru t'es royalement assise sur la priorité des opérations et donc les parenthèses...

Bon, cela dit, allons-y
Question 1
Les 2 premières demandes ne sont pas démontrer (les cos) c'est juste l'application de la définition.
Tout au plus il te faut justifier que le triangle AMC est rectangle en M.
En ce qui concerne le triangle AMH, on constate que sur le dessin un angle droit a été codé.
Après, il n'y a qu'à écrire :
Dans le triangle AMH rectangle en H
cos a =....
Dans le triangle AMC rectangle en L :
cos a = ...
La suite est plus intéressante.
Sur le dessin A,B,H sont alignés dans cet ordre donc AH = AB + BH = 1 + BH
Te voilà propulsée dans le triangle BMH rectangle en H, ou tu vas écrire :
cos b = ... et tu en tires BH = ... que tu t'empresses de remplacer dans l'égalité :
AH = 1 + BH (sans oublier que BM = rayon = 1)

Tu reprends maintenant les informations :
cos â = AH/AM
cos â = AM/AC
Et tu en déduis l'égalité des rapports AH/AM et AM/AC et tu fais les produits en croix : AM² = ....
Pour écrire enfin AH = ../..
Tu as montré que AH = 1 + cos b...
Tu sais que AC = 2, donc écris AM en utilisant le cos a dans le triangle AMC.
puis écris AM² en partant du AM trouvé. Simplifie...
Tu arrive à 1 + cos b = 2cos² a
Il ne reste plus qu'à diviser les 2 membres par 2 :
cos² a =(1 + cos b)/2

Question 2
Comparaison a et b.
Soit tu fais remarquer
* que a est un angle inscrit dans le demi-cercle et qui intercepte l'arc MC
* que b est un angle au centre du demi-cercle qui intercepte le même arc et qu'en vertu du théorème correspondant l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit interceptant le même arc : b = 2a
Soit si tu n'as pas vu ce théorème encore, tu le démontres :
BA = BM = 1, le triangle ABM est isocèle de sommet principal M, donc [tex]\widehat{BMA}=\widehat{BAM}[/tex]
Doù : [tex]\widehat{BMA}=\hat a[/tex]
BM = BC = 1, le triangle MBC est isocèle de sommet principal B, donc [tex]\widehat{BMC}=\widehat{BCM}[/tex]
La somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc :
[tex]\widehat{BMC}+\widehat{BCM}+\hat b=180^\circ[/tex] donc [tex]\widehat{BMC}+\widehat{BCM}=180^\circ -\hat b[/tex]
Or, on sait maintenant que : [tex]\widehat{BMC}=\widehat{BCM}[/tex] donc [tex]\widehat{BMC}+\widehat{BCM}=2\widehat{BMC}[/tex]
Et on remplace :
[tex]2\widehat{BMC}=180^\circ -\hat b[/tex]
On divise les 2 membres par 2 : [tex]\widehat{BMC}=90^\circ -{\hat b \over 2}[/tex]

Mais l'angle [tex]\widehat{AMC} [/tex] est droit.
Donc :
[tex]\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=90^\circ[/tex], et on en tire [tex]\widehat{AMB}=90^\circ -\widehat{BMC}[/tex], c'est à dire encore :
[tex]\widehat{AMB}=90^\circ -\left(90^\circ -{\hat b \over 2}\right) = {\hat b \over 2}[/tex]
D'où enfin b = 2a...

Ceci ne dépend pas de la valeur de â, jamais donnée dans l'énoncé : pourvu que H soit placé entre B et C, l'angle â sera toujours tel que 0 < a <45°...
Et puisque b = 2â, l'égalité démontrée en fin de première question s'écrit en remplaçant b par 2â :
cos² â = (1+cos 2â)/2

Question 3.
a) [tex]\cos 30^\circ ={\sqrt 3 \over 2}[/tex].
La moitié de 30° étant 15° tu commences par remplacer dans l'égalité ci-dessus â par 15° et 2â par 30° sans rien faire d'autre...
Puis dans la formule obtenue tu remplaces cos 30° par [tex]{\sqrt 3 \over 2}[/tex], puis tu simplifies et tu arrives à la formule demandée, soit :
[tex]\cos^2 15^\circ=\frac{2+\sqrt 3}{4}[/tex]

b) Pour vérifier que [tex]\cos 15^\circ = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}[/tex] tu vas tout simplement calculer maintenant cos² 15° à partir de là : [tex]\left(\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}\right)^2[/tex]

Après développement et simplification (par 4) tu dois retrouver :
[tex]\frac{2+\sqrt 3}{4}[/tex]

@+

Estelle · 15-12-2009 12:13:25

bonjour merci pour les explications

Estelle · 15-12-2009 14:07:08

AMC rectangle en L ?

freddy · 15-12-2009 14:10:57

Salut Estelle,

je pense que tu peux corriger de toi même, non ?

Yoshi t'a fait tout le boulot, ne recopie pas bêtement, cogite un peu aussi.

Bonne journée.

yoshi · 15-12-2009 14:32:05

Salut,

Merci freddy...
@ Estelle
Faute de frappe.
Regarde sur ton clavier où est le L et tu comprendras la faute de frappe...
Regarde le dessin pour voir où est l'angle droit du triangle AMC

@+

Estelle · 15-12-2009 15:56:19

1) dans le triangle AMC le point M est situé sur le cercle de diametre [AC] si M est un point quelconque du cercle du diametre [AC] alors le triangle AMC est rectangle en M

dans le triangle AMH : si MH² + HA² = MA² alors AMH est rectangle en H

dans le triangle AMC rectangle en M : cosâ = AM/AC

dans le triangle AMH rectangle en H : cosâ = AH/AM

A B H sont alignés dans le meme ordre donc AH = AB + BH = 1 + BH

AB = 1 car AB est la moitié de AC c'est ca ?

dans le triangle BMH rectangle en H : cosb = BH/BM

apres je sais pu

yoshi · 15-12-2009 17:53:57

Salut,

estelle" a écrit :

dans le triangle AMH : si MH² + HA² = MA² alors AMH est rectangle en H

Pour quoi faire ?
Il y a un angle droit en H sur ton dessin, ça ne te suffit pas ?

A B H sont alignés dans le meme ordre donc AH = AB + BH = 1 + BH
AB = 1 car AB est la moitié de AC c'est ca ?

Oui, c'est ça...

dans le triangle BMH rectangle en H : cosb = BH/BM
apres je sais pu

Allons, allons ! Si c'est pas un gros coup de déprime (injustifiée !), ça...
Je t'ai écrit :

Et tu en déduis l'égalité des rapports AH/AM et AM/AC et tu fais les produits en croix : AM² = ....
Pour écrire enfin AH = ../..

Pour l'instant, dans ce qui suit, n'utilise que AC, AH et AM et réponds aux questions suivantes (et à rien d'autre s'il te plaît pour l'instant) :
1. Pourquoi [tex]{AH \over AM}={AM \over AC}[/tex] ?

2. Remplace les pointillés : [tex]AM^2= ... \times ...[/tex]

3. A partir de là, tu vas pouvoir écrire [tex]AH = {... \over ...}[/tex]. Remplace les pointillés.

@+

Estelle · 15-12-2009 19:10:43

je dois en deduire l'égalité des rapports AH/AM = AM/AC mais je mélange tout trop difficile ces exercices je sais pu

yoshi · 15-12-2009 20:32:11

Salut,

Je vais m'y prendre autrement, j'ai trouvé plus simple...
Donc tu as établi que AH = 1 + cos b.
Maintenant on va s'occuper de AH.
Donc on va faire comme ça :
a) Sachant que cos â = AH/AM, écris AH en fonction de AM : [tex]AH = AM \times ...[/tex]
b) Dans AH = 1 + cos b, remplace AH par son expression ci-dessus en fonction de AM.
c) Sachant que cos â = AM/AC, écris AM en fonction de AC : [tex]AH = AC\times ...[/tex], puis remplace AC par 2
d) Dans l'expression écrite au b) : [tex]AM \times ... = 1 + \cos \hat b[/tex], remplace AM par ce que tu viens de trouver ci-dessus, tu obtiens :
[tex]2 \times ...\times \ ... = 1 + \cos \hat b[/tex]
e) Simplifie ton expression pour obtenir [tex]2 \times ...^2 = 1 +\cos \hat b[/tex]
f) Divise les deux membres par 2 et tu obtiens : [tex]\cos^2 \hat a = \frac{1 + \cos \hat b}{2}[/tex]

Allez bouche les trous...

@+

PS J'ai besoin de savoir si tu es en 3e ou en 2nde, parce que oui, pour une 3e ce n'est pas facile... Et si c'est le cas, ce n'est pas une raison quand même pour baisser les bras : on est là pour te soutenir, tu n'es pas seule !

Estelle · 16-12-2009 14:28:00

bonjour je suis en 3éme et je suis plus vraiment la j'ai du mal a comprendre et j'ai d'autres exercices a faire

merci tout de meme pour votre aide

yoshi · 16-12-2009 14:37:15

Salut,

Donc tu abandonnes... C'est dommage, c'est juste le passage le plus délicat !
Enfin, c'est toi qui voit !

@+

Estelle · 16-12-2009 14:50:15

non j'abandonne pas mais je comprends pas j'ai fait ca :

AH = AM * MH

AH = AC * BC

yoshi · 16-12-2009 15:03:21

Bonjour,

Si tu persévères alors c'est bien...
Bon je t'ai écrit :
Sachant que cos â = AH/AM, écris AH en fonction de AM : AH = AM x ....
Tu réponds AH = AM * MH... Où est passé le cisinus ?
On fait ça avec un exemple numérique :
Supposes que â = 30° et AM = 5 tu écris Cos 30° = AH/5... puis AH = 5 x cos 30°, c'est comme ça que tu fais les calculs de trigo, non ?
Bon, et bien, on ne sait pas combien mesure â, ni AM... Qu'est-ce que ça peut faire ?
On garde AM et cos â et on écrit : cos â = AH/AM donc AH = AM * ... ?

Même remarque je t'ai écrit :
Sachant que cos â = AM/AC, écris AM en fonction de AC : AM = AC x .... ?
Et tu me réponds : AH = AC * BC... Où est passé AM ? Où est le cos â ?

On va y arriver. Je crois que là, tu cherches bien loin ce que tu as sous la main : aucun calcul à faire, juste de l'écriture de formules en gardant les lettres...

Allez, si tu ne réponds pas à côté, ça va aller très vite...

Je suis à l'écoute....

@+

Estelle · 16-12-2009 15:20:27

je pense avoir compris avec l'exemple

AH = AM * â

AM = AC * â

yoshi · 16-12-2009 15:42:08

Re,

Oui presque....

C'est en fait
AH = AM * cos â
et
AM = AM * cos â et comme AC = 2 --> AM = 2cos â...
(étourderie l'oubli de cos, sûrement)

Bon, alors on est prêts, ouvre ton parachute et sautons...
Maintenant, on reprend.
Repartons de AH = 1 + cos b
1. Remplace AH par AM * cos â...
2. Remplace alors AM par 2 * cos â.

Qu'obtiens-tu ?

@+

Estelle · 16-12-2009 15:54:49

AH = 1 + cos b

1) AM * cosâ = 1 + cos b

2) 2 * cosâ = 1 + cos b = 1 + cos b /2

yoshi · 16-12-2009 16:05:23

Re,

Tu vas trop vite...
Tu as AH = 1 + cos b
et AH = AM * cos â

Tu remplaces AH, tu as maintenant :
AM * cos â = 1 + cos b

Tu sais que AM = 2 cos â, tu remplaces AM et tu trouves :
2 * cos â * cos â = 1 + cos b
c'est à dire 2 cos² â = 1 + cos b.
Maintenant,, il ne te reste plus qu'à diviser les deux membres par 2...

Question 2.
As-tu vu ce théorème sur les angles inscrits et angles au centre en classe ? Probablement puisque ce chapître est en général traité à la suite de la trigo ?
Ce thorème t'apprend donc (voir mon post #2) que :

D'où enfin b = 2a...
Ceci ne dépend pas de la valeur de â, jamais donnée dans l'énoncé : pourvu que H soit placé entre B et C, l'angle â sera toujours tel que 0 < a <45°...
Et puisque b = 2â, l'égalité démontrée en fin de première question s'écrit en remplaçant b par 2â :
cos² â = (1+cos 2â)/2

Pour la question 3., va relire mon post #2

@+

Estelle · 16-12-2009 16:18:16

2 * cosâ * cosâ = 1 + cos b

2 cos²â = 1 + cos b

cos²â = 1 + cos b/2

pour la question 2 je viens juste de commencer une lecon sur le cercle trigonométrique c'est pour ca j'ai du mal

Estelle · 16-12-2009 16:56:22

pour la question 3 j'ai remplacé cos 30° par cos 15° mais je comprends pas 2â par 30°

yoshi · 16-12-2009 17:19:12

Re,

Ecris cos²â = (1 + cos b)/2 sinon, c'est faux....
Non, non, on ne remplace pas cos 30° par cos 15°...

Tu as fini sur cette formule :
[tex]\cos^2 \hat a = \frac{1 + \cos 2\hat a}{2}[/tex]
Si tu notes â = 15°, tu obtiens :
[tex]\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2}[/tex]
Après retourne voir mon post #2...

@+

Estelle · 16-12-2009 17:33:10

désolé mais je ne comprends rien a la question 3)

yoshi · 16-12-2009 18:01:18

Re,

On s'occupe du 3 a)!

a) sachant que cos 30° = racine carrée de 3 /2
démontrer que cos² 15° = (2 + racine carrée de 3)/4

Tu sais maintenant que
[tex]\cos^2 15^\circ = \frac{1 + cos 30^\circ}{2}[/tex] (1)
et on te dit que :
[tex]\cos 30^\circ = {\sqrt 3 \over 2}[/tex]
Qu'est que t'attends pour remplacer dans (1) cos 30° par [tex]{\sqrt 3 \over 2}[/tex]
puis tu simplifies l'écriture
* en mettant le 1 au même dénominateur que la racine
* et en divisant par la fraction obtenue par 2

@+

Estelle · 17-12-2009 12:06:03

bonjour

cos15° = 1 + racine carrée de 3 sur 2 /2

cos15 = 2/2 + racine carrée de 3 sur 2 /2

[Edit @yoshi]

Non !
Tu vas trop vite encore une fois...
[tex]\cos^2 15^\circ = \dfrac{1+\dfrac{\sqrt 3}{2}}{2}= \dfrac{\dfrac{2+\sqrt 3}{2}}{2}= \dfrac{\dfrac{2+\sqrt 3}{2}}{\dfrac{2}{1}}=\frac{2+\sqrt 3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{2+\sqrt 3}{4}[/tex]

Maintenant passe au 3.b) (revoir post #2) en calculant :
[tex]\left(\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}\right)^2[/tex]

Mes posts apparaissant subitement en double, j'ai voulu en supprimer un exemplaire : les deux sont partis.
J'ai refait le dernier, mais pour ma réponse à celui-ci, si je l'avais refait, il ne se serait pas positionné au bon endroit.
D'où mon intervention dans ce post
Désolé...

Estelle · 17-12-2009 17:49:43

(V6 + V2)² /4 = 6 + 2 /4 = 8/4 = 2

(V c'est racine carrée )

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-12-2009 18:02:51

Trigonométrie [Résolu]

#2 13-12-2009 19:51:21

Re : Trigonométrie [Résolu]

#3 15-12-2009 12:13:25

Re : Trigonométrie [Résolu]

#4 15-12-2009 14:07:08

Re : Trigonométrie [Résolu]

#5 15-12-2009 14:10:57

Re : Trigonométrie [Résolu]

#6 15-12-2009 14:32:05

Re : Trigonométrie [Résolu]

#7 15-12-2009 15:56:19

Re : Trigonométrie [Résolu]

#8 15-12-2009 17:53:57

Re : Trigonométrie [Résolu]

#9 15-12-2009 19:10:43

Re : Trigonométrie [Résolu]

#10 15-12-2009 20:32:11

Re : Trigonométrie [Résolu]

#11 16-12-2009 14:28:00

Re : Trigonométrie [Résolu]

#12 16-12-2009 14:37:15

Re : Trigonométrie [Résolu]

#13 16-12-2009 14:50:15

Re : Trigonométrie [Résolu]

#14 16-12-2009 15:03:21

Re : Trigonométrie [Résolu]

#15 16-12-2009 15:20:27

Re : Trigonométrie [Résolu]

#16 16-12-2009 15:42:08

Re : Trigonométrie [Résolu]

#17 16-12-2009 15:54:49

Re : Trigonométrie [Résolu]

#18 16-12-2009 16:05:23

Re : Trigonométrie [Résolu]

#19 16-12-2009 16:18:16

Re : Trigonométrie [Résolu]

#20 16-12-2009 16:56:22

Re : Trigonométrie [Résolu]

#21 16-12-2009 17:19:12

Re : Trigonométrie [Résolu]

#22 16-12-2009 17:33:10

Re : Trigonométrie [Résolu]

#23 16-12-2009 18:01:18

Re : Trigonométrie [Résolu]

#24 17-12-2009 12:06:03

Re : Trigonométrie [Résolu]

#25 17-12-2009 17:49:43

Re : Trigonométrie [Résolu]

Pied de page des forums