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#1 07-12-2009 17:51:26
- MIAS2
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- Messages : 56
Encore des boules
Bonsoir , j'ai un problème avec des boules. Voici l'énoncé:
Soit la paire (E,|| ||) un espace vectoriel normé, 1) montrer que B(a,r )[tex]\subset [/tex] B(b,s)--->||a-b||<s-r.
2) En utilisant un raisonnement par l'absurde monter que ||a-b||<r+s ---> B(a,r)[tex]\cap [/tex] B(b,s) est différente du vide . Aidez-moi à resoudre ce problème.
Dernière modification par MIAS2 (07-12-2009 17:55:36)
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#2 07-12-2009 21:34:21
- Fred
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- Messages : 7 349
Re : Encore des boules
Salut,
1) Cela ne peut se faire qu'avec un dessin pour comprendre ce qui se passe. En clair, considère un point de B(a,r) le plus éloigné possible de b (il faut le prendre sur la droite (a,b), le plus éloigné possible de b).
Donc on prend [tex]x= a+ r(a-b)/\|a-b\|[/tex] et on écrit que x est dans B(b,s) -je fais un raisonnement avec des boules fermées, tu n'as pas précisé si elles étaient ouvertes ou fermées. On doit trouver le résultat.
2) On suppose que B(a,r) et B(b,s) ne se coupent pas, et on considère cette fois le point [tex] x=a+r(b-a)/\|b-a\| [/tex] (cette fois, c'est le point de B(a,r) qui va être plus proche de b).
Ce point n'appartient pas à B(b,s), donc [tex]\|x-b\|>s[/tex]. En calculant cette norme, et en utilisant l'hypothèse, on devrait trouver une contradiction!
Fred.
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#4 08-12-2009 14:30:17
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Encore des boules
Je complète pour le 2).
Avec x défini comme dans mon message plus haut, on a :
[tex]x-b=a-b+\frac{r}{\|b-a\|}(b-a)= \left(1-\frac{r}{\|b-a\|}\right)(a-b)[/tex]
Puisque x est dans B(a,r) (on a tout fait pour...), x n'est pas dans B(a,s), et donc
[tex]\|x-b\|> s[/tex]
Mais, [tex]\|x-b\|=\left(1-\frac r{\|b-a\|}\right)\|b-a\|=\|b-a\|-r>s[/tex]
Ceci donne le résultat.
F.
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#7 09-12-2009 20:18:04
- MIAS2
- Membre
- Inscription : 18-11-2009
- Messages : 56
Re : Encore des boules
Dans B(b,s) bien sûr, mais il suffisait de réfléchir une seconde pour rectifier cette faute de frappe.
Oui c'est vrai ta raison (j'ai pensé la meme chose mais j'avais des doutes) , et merci pour ton aide préciseuse !!!!!!!!!!
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