Probabilités et fonction rationnelle [Résolu]

cocochanel · 26-11-2009 17:46:44

Bonjour

J'ai un devoir maison à faire, assez difficile, d'habitude je comprends très bien les probas, mais les devoirs maisons c'est souvent des choses que l'on n'a pas vu, du coup si vous pouviez m'éclairer... car je commence à mélanger beaucoup de formules. Je suis en terminale ES

Voici le sujet :

Partie A

Le jeune Bob obtient des résultats moyens à l'école. Pour le motiver, sa maman lui propose le jeu suivant : à chaque fois qu'il obtient une "bonne" note, il peut tirer successivement sans remise deux billets d'un sac contenant 7 billets de 5 euros et 3 billets de 10 euros.
Si les deux billets sont de valeurs différentes, il garde ces deux billets et sa maman complète le sac pour une autre fois. Si, les deux billets sont de même valeur, il remet les billets dans le sac.
- Déterminer les probabilités des événements suivants :

A : "Bob tire deux billets de 5euros"
B : "Bob tire deux billets de 10 euros"
C : "Bob tire deux billets de valeurs différents"

J'ai trouvé :
P(A) : 7/10
P(B) : 3/10
P(C) : 7/10 * 3/10 = 21/10
Mais je pense que c'est faux...

Partie B

On conserve le principe du jeu du A
On se propose de faire gagner un peu plus d’argent à Bob en changeant juste
le nombre de billets de 10 euros dans le sac, le nombre de billets de 5 euros étant toujours égale à 7.
On suppose qu’il y a n pièces dans le sac dont toujours 7 billets de 5 euros
(n est un entier naturel supérieur ou égal à 10).

a. Montrer que la probabilité pn de l’évènement « Bob tire deux pièces de
valeurs différentes » est :
pn = 14(n −7)/n(n −1)

b. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [10 ; + ∞[ par :
f (x) = 14(x −7)/x(x −1)
.
Étudier les variations de f et en déduire les deux valeurs entières consé-
cutives de n entre lesquelles la fonction f présente son maximum. Don-
ner alors la valeur maximale de pn.

Voila par contre cette partie B on a jamais vu comment faire...

Merci de votre aide :)

freddy · 26-11-2009 18:33:43

Salut,

en effet, la partie A est fausse. Commence d'abord par dénombrer l'ensemble des tirages que tu peux faire. Tu conviendras aisément que c'est égal à l'ensemble des combinaisons de 2 billets choisis parmi 10.

On a combin(10;2) = 45 paires possibles.

Pour l'événement A, Bob tire 2 billets parmi 7 et 0 billet parmi 3
=> combin(7;2)*combin(3:0)= 21 et Prob(A) = 21/45 = 7/15

Pour l'événement B, Bob tire deux billets parmi 3 et 0 parmi 7
=> combin(3;2)*combin(7;0)= 3 et prob(B) = 3/45 = 1/15

Pour l'événement C , deux possibilités :

- soit on a le choix d'un billet parmi 7 et 1 billet parmi 3 => Combin(7;1)*Combin(3;1)=7*3 = 21 ;

- soit on remarque que les événements sont mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs (leur réunion donne l'Univers de référence et leur intersection est vide). De fait le nombre de paires possibles = 45 - 3 - 21 = 21 ! On a alors prob(C) = 21/45 = 7/15

Partie B.

on a n billets (dont 7 de 5 euros). Donc n >= 7

L'ensemble des couples possibles = Combin(n;2) = n(n-1)/2

Pour obtenir 2 billets valeur distinctes, cela revient à en choisir 1 parmi 7 (nombre = 7) et 1 parmi les n-7 restant (nombre = n-7).

La prob de cet événement = [tex]\frac{7(n-7)}{\frac{n(n-1)}{2}}[/tex] Tu te ramènes à la solution qu'on te demande de vérifier.

Après tu attaques l'étude de la fonction associée, signe de la dérivée, tableau de variation, le x* qui donne la valeur max de f(x) et les deux entiers n et n+1 qui encadrent x*.

Bon courage !

PS : pour l'étude de la fonction f, je te suggère de montrer que f(x) = a/x + b/(x-1) (pour x différent de 0 et 1 bien sûr) en calculant a et b. Ce devrait te simplifier la tache.

Dernière modification par freddy (26-11-2009 21:21:30)

freddy · 26-11-2009 19:15:48

Re,

je viens de faire la dernière partie de la parie B, la réponse est assez amusant a posteriori, et presque "évidente" quand on y réfléchit un peu.

Allez, dis moi combient vaut n*, et je te dirai si c'est OK.

Bb

cocochanel · 26-11-2009 19:32:48

Je ne comprends pas grand chose, deja ce système de cardinal on en a jamais parlé, puis on a jamais employé le terme de binom ou combinaison même si je vois ce que c'est si on le ferait sous forme d'arbre... pas évident je vais voir..

cocochanel · 26-11-2009 21:20:21

Je ne comprends pas ton raisonnement ex le fait que ca fasse 45 paires possibles

freddy · 26-11-2009 21:23:08

cocochanel a écrit :

Je ne comprends pas ton raisonnement ex le fait que ca fasse 45 paires possibles

Re,

c'est tout simplement le nombre de combinaisons de 2 éléments (paire ou couple) choisis parmi 10 éléments.

cocochanel · 26-11-2009 21:53:04

mais comment vous faites pour les trouver?

freddy · 27-11-2009 09:28:58

Bonjour,

en raisonnant simplement : je tire un billet parmi 10 auquel j'associe le choix d'un second billet parmi 9 (puisque tirage sans remise). J'ai donc 10*9 couples possibles MAIS caque couple est compté deux fois : en effet, obtenir un billet de 10 et un billet de 5 sans préciser l'ordre dans lequel je les obtiens m'oblige à considérer le tirage 10-5 identique au tirage 5-10.

Donc le nombre de paire de billet qu'on peut former = (10*9)/2 = 45.

On dit qu'on a dénombré le nombre de paire par le nombre de combinaison de 2 éléments choisis parmi 10.

La notation est donnée par http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … aison.html

Tu "vois" mieux ?

Dernière modification par freddy (27-11-2009 09:32:09)

cocochanel · 27-11-2009 18:09:49

pour delta dans la partie B j'ai trouvé x1 : 13.48 environ et x2 : 0.519 mais quand je fais le tableau c difficile je vois pas trop comment apres trouver les valeurs entieres de n

yoshi · 27-11-2009 18:57:16

Bonsoir,

Les 2 solutions qui annulent la dérivée que tu as dû calculer sont [tex]x_1,x2 =7\pm\sqrt {42}[/tex]
Les signes de ta dérivée sont donc - de +oo à x1, + de x1 à x2 et - de x2 à +oo
(Le coeff de x² est négatif donc ta dérivée est + entre les racines et - à l'extérieur)

Mais vu que tu travailles sur [10 +oo[ il n'y a plus que la valeur 13,48... acceptable comme extremum...
Ta dérivée est positive sur [tex][10\;;\;7+\sqrt{42}[[/tex] et négative après...
Ta fonction est donc croissante puis croissante sur cet intervalle [10 ; +oo[ ce qui prouve bien que tu as un maximum atteint pour [tex]x_2=7+\sqrt{42}[/tex]

...en déduire les deux valeurs entières consécutives de n entre lesquelles la fonction f présente son maximum. Donner alors la valeur maximale de pn.

Tu te casses trop la tête, alors que ça te crève les yeux : les deux valeurs entières consécutives de n entre lesquelles la fonction f présente son maximum.
Puisque x2 vaut environ 13,48, les deux valeurs entières de n cherchées sont tout bêtement... 13 et 14.

@+

cocochanel · 27-11-2009 20:19:12

moi j'ai trouvé delta : 32928! c ca deja? du coup ca me fait 7+racine de 32928 !

freddy · 27-11-2009 20:23:14

Re,

ce qui est "amusant" est ceci : quel nombre entier entre 13 et 14 choisir. ON dira que c'ets celui qui donne la proba la plus élevée.

Formons alors la différence Prob(7,6) et prob(7,7) avec des notations évidentes. On a :

[tex]\frac{14\times 6}{13\times 12} - \frac{14\times 7}{14\times 13} = \frac{14}{13}\times[\frac{6}{12}-\frac{7}{14}] = 0[/tex] !!!

Etonnant, non ?

Dernière modification par freddy (27-11-2009 20:24:35)

freddy · 27-11-2009 20:24:19

cocochanel a écrit :

moi j'ai trouvé delta : 32928! c ca deja? du coup ca me fait 7+racine de 32928 !

Non coco, yoshi t'a dit que Delta = 42 !

Alors trouve 42 !

cocochanel · 27-11-2009 20:27:43

pourtant quand je fais f'(x) je trouve au numérateur -14x²+196x-98 donc av delta je trouve pas ca

yoshi · 27-11-2009 20:56:15

Salut,

Eh, freddy, trois choses t'ont échappé :
1. Que les résultats que j'ai donnés pouvaient avoir été simplifiés. C'est bien le cas.
2. La dérivée était factorisable et je l'ai factorisée : f'(x)=14(-x²+14x-7)/(x²(x-1)²)
3. Je crois que ça ne s'apprend plus, mais de mon temps quand le b de ax²+bx+c était pair (b = 2b') on m'a appris à calculer le "discriminant réduit" : [tex]\Delta'=b'^2-ac[/tex]
avec comme solutions, non plus [tex]x_1,x_2=\frac{-b\pm\sqrt {\Delta}}{2a}[/tex]
mais [tex]x_1,x_2=\frac{-b'\pm\sqrt {\Delta'}}{a}[/tex]

Il n'en reste pas moins que notre amie "coco" a quand commis deux bourdes : la solution n'est pas [tex]7+\sqrt{32928}[/tex], dont une grave ou alors je ne comprends rien à "sa" solution...
Ce n'est pas b mais -b qu'on utilise et avec ses calculs de discriminant je doute que son b soit égal à 7.

En effet, dans son cas la formule de sa solution est :
[tex]x_1,x_2=\frac{-b'\pm\sqrt {\Delta}}{2a}[/tex], et non plus: soit ici
[tex]x_2=\frac{-196-\sqrt {32928}}{-28}=\frac{196+\sqrt {32928}}{28}[/tex]
Voilà pourquoi :
1. J'ai factorisé la dérivée
2. J'ai utilisé le discriminant réduit

Coco, il te faut remarquer que 1
1. 196 = 28 * 7
2. 32928 = 784 * 42 = 28² * 42

Donc : [tex]x_2=\frac{196+\sqrt {32928}}{28}= \frac{28 \times7+28\sqrt {42}}{28}=7+\sqrt{42}[/tex]
Et tu retombes bien sur "ma" valeur.

@+

[EDIT]
Désolé, miss, tu as posté un peu avant moi...

freddy · 27-11-2009 21:03:46

Re,

yoshi, je suis passé par la version simplifiée (que j'avais proposée, avec a = 7*14 et b=-6*14) pour dériver et résoudre, j'avais donc immédiatement le Delta = 42 !!!

Je pensais que tu avais fait de même !... d'où mon amicale invitation pour notre amie "coco".

Bb

cocochanel · 27-11-2009 21:09:15

ah d'accord merci !! et pour la valeur maximale alors de pn c 7+racine 42?

yoshi · 02-12-2009 19:59:00

Re,

Désolé, j'avais zappé !
Cela dit, j'espère que tu as fait comme moi, retourner voir quelle était la définition de Pn :
[tex]P_n =\frac{14(n -7)}{n(n -1)}[/tex]
Tu as pu vérifier (freddy te l'a montré) que P13 = P14.
Donc
[tex]P_{13} = \frac{14(13 -7)}{13(13 -1)}=\frac{14\times 6}{13 \times 12}=\frac{7}{13}\approx 0,5385[/tex] à [tex]10^{-4}[/tex] près...
En gros, Bob a 54 chances sur 100 de tirer deux billets de valeurs différentes s'il y a 13 ou 14 billets (de 5 € et 10 €) dans le sac dont toujours 7 billets de 5 €...

@+

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