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metamasterplay

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Equipotence de certains ensembles usuels

Bonjour,

Dans une séance de cours, notre professeur nous lâche une petite bombe: [tex]\mathbb{R}[/tex] et P([tex]\mathbb{N}[/tex]) ont même puissance au sens de cardinalité. ça m'est paru étrange vu que je me suis plutôt habitué au [tex]\mathbb{R}[/tex] topologique "tout puissant" avec sa continuité, complétude, etc... et P([tex]\mathbb{N}[/tex]), bah ça reste des entiers et donc du discret. Bref, disons que ça a été suffisant pour attiser ma curiosité :p.

Dans une première approche, on peut remarquer que chaque réel possède une écriture décimale, soit un ensemble de couples [tex]\left(r,c\right)[/tex] avec [tex]r[/tex] le rang et [tex]c[/tex] chiffre (compris entre 1 et 9). Cependant il y a certaines problèmes qu'il faut surmonter:
1/ Une telle application va vers [tex]P(\mathbb{N}[/tex]x[(1,9)]), il faut donc se débarrasser de [tex]c[/tex] en réduisant l'intervalle de [tex]c[/tex] au minimum: On passe à l'écriture binaire.
2/La non-unicité du développement décimal: il suffit de prendre l'écriture minimale, qui quant à elle est unique.
3/[tex]r[/tex] est relatif: On raisonne sur une intervalle où r est positif vu que [tex]\mathbb{R}[/tex] est bijectable avec toute intervalle de [tex]\mathbb{R}[/tex].

Je vais donc raisonner seulement sur l'intervalle [0,1[ vu que [tex]\mathbb{R}[/tex] s'y ramène moyennant des inversions.
Soit donc: [tex]x\in [0,1[[/tex]
[tex]x=\sum^{\infty }_{i=1}{a}_{i}.{2}^{-i}[/tex]
Si [tex]x=0,{a}_{1}{a}_{2}...{a}_{i}1111...[/tex]
On prend: [tex]x=0,{a}_{1}{a}_{2}...{a}_{i}\,+\,{2}^{-i}[/tex]
Qui n'est autre que l'écriture minimale de [tex]x[/tex] (par analogie: 0,9=1)

On définit donc notre fonction:
[tex]f:\,\left[0,1\right[\rightarrow \mathbb{R}[/tex]
[tex]x\rightarrow[/tex] {[tex]i\in \mathbb{N}/{a}_{i}=1[/tex]}

Cette application est injective:
Pour [tex]x=\sum^{\infty }_{i=1}{a}_{i}.{2}^{-i}[/tex] et [tex]y=\sum^{\infty }_{i=1}{b}_{i}.{2}^{-i}[/tex]
[tex]f\left(x\right)=f\left(y\right)\,\Rightarrow \,\forall \,i\,\in \,\mathbb{N}\,{a}_{i}=1\,\Longleftrightarrow {b}_{i}=1[/tex] (le principe même d'une base).
Par contre-apposée:
[tex]\forall i\in \mathbb{N},\,{a}_{i}=0\,\Longleftrightarrow \,{b}_{i}=0[/tex]
Donc:
[tex]\forall i\in \mathbb{N},\,{a}_{i}={b}_{i}[/tex]
Donc: [tex]x=y[/tex]

L'application est aussi surjective:
Pour [tex]E=[/tex]{[tex]{i}_{1},{i}_{2},...,{i}_{card\left(E\right)}[/tex]}[tex]\in \mathbb{N}[/tex]
[tex]x=\sum^{card\left(E\right)}_{k=1}{2}^{{-i}_{k}}[/tex] est un antécédent de [tex]E[/tex].

L'application est donc bel et bien bijective.
[tex]\mathbb{R}[/tex] et P([tex]\mathbb{N}[/tex]) ont donc même puissance au sens de cardinalité.

Place maintenant aux questions:
1/Le charabia que j'ai écrit est-il compréhensible?
2/Si oui, est-il correct?
3/Puisque [tex]\mathbb{R}[/tex] est "un cran" supérieur à [tex]\mathbb{N}[/tex] au sens de puissance, est-ce-que on a plus généralement pour tout ensemble infini [tex]E[/tex],  [tex]ord\left(P\left(E\right)\right)=ord\left(E\right)+1[/tex]?
4/Peut-on de même exhiber une bijection entre  [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]\mathcal{I}\left(\mathbb{R}\right)[/tex], l'ensemble des fonctions continues sur [tex]\mathbb{R}[/tex], parce que [tex]\mathbb{R}[/tex] et P([tex]\mathbb{N}[/tex]), ça va un peu, mais de là à réduire toute une fonction en un réel...
Merci d'avance.

PS: Sacrée gymnastique avec ce LaTex...

Fred

Administrateur

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Re : Equipotence de certains ensembles usuels

Bonjour,

  Je te réponds :
1) En tout cas, moi, j'ai compris.
2) Oui, cela me semble correct.
3) Là, on rentre dans la discussion philosophique. Le fait que [tex]\mathbb R[/tex] est "un cran" supérieur à [tex]\mathbb N[/tex], en utilisant ta terminologie, s'appelle l'hypothèse du continu. C'est un axiome qu'on peut ou ne peut pas ajouter à la théorie des ensembles, indépendamment des autres axiomes usuels. La proposition que tu avances s'appelle l'hypothèse du continu généralisée. On peut elle aussi la rajouter, ou non, comme axiome à la théorie usuelle des ensembles.
4) Eh si, ces deux choses sont en bijection. L'idée est qu'une fonction continue est définie par ses valeurs en les points rationnels, et donc le cardinal de [tex]\mathcal I(\mathbb R)[/tex] est au maximum [tex]\mathbb R^{\mathbb Q}[/tex]. Et ce dernier ensemble peut être mis en bijection avec [tex]\mathbb R[/tex], assez facilement.

Fred.