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D'giu

Invité

Aide nombres réels

Bonjour,

j'ai besoin d'aide pour un dm de maths sur les nombres réels:
Soit D={x∈ℚ, x>0, x²≤2}, montrer que D ne possède pas de borne supérieure dans ℚ.
Il faut raisonner par l'absurde, en posant d=Sup(D) et en distinguant 3 cas:
- d²=2
- d²>2 en posant h = Min((d²-2)/2d,d) et en montrant que d-h est un majorant de D
- d²<2 en posant h = Min(1,(2-d²)/(2d+1)) et en montrant que d+h est élément de D
J'ai réussi pour d²=2 mais je bloque pour les 2 suivants.
Pour le 2ème cas, j'ai pensé pouvoir comparé  [tex]d-\frac{1}{2}\left(\frac{d²-2}{2d}+d-|\frac{d²-2}{2d}-d\right)[/tex]  à 2 et prouver qu'il était supérieur mais je n'y arrive pas.

Si quelqu'un a une idée, merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Aide nombres réels

Bonjour,

  Je t'explique comment faire pour le 3ème cas, j'espère que ca t'aidera à terminer le second.

On commence par étudier à quelle condition on a [tex]1\leq \frac{2-d^2}{2d+1}[/tex],
et, en étudiant le trinome, et en sachant que d est positif, cela correspond à d dans l'intervalle
[tex]I=[0,\sqrt 2-1][/tex].

Ainsi, si d est dans l'intervalle I, h=1, et d+h est bien un élément de D car c'est un rationnel inférieur ou égal à racine de 2.
Sinon, d est dans l'intervalle [tex][\sqrt 2-1,\sqrt 2[[/tex],
et [tex]d+h=\frac{d^2+d+2}{2d+1}[/tex]
Or, dans l'intervalle étudiée, cette fonction est croissante et atteint son maximum en [tex]\sqrt 2[/tex] où elle vaut précisément [tex]\sqrt 2[/tex]
On a donc bien d+h élément de D.

Ainsi, on trouve un élément de D qui est supérieur strict à d. Ceci contredit la définition de la borne supérieure.

Fred.