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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 14-11-2009 23:27:52
- juheba
- Membre
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- Messages : 9
Matrice symmétrique définie positive
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un pourrait me guider vers une piste me permettant de prouver que l'inverse d'une matrice A symmétrique et définie positive est elle aussi définie positive.
Merci beaucoup,
Julien.
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#2 14-11-2009 23:31:15
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Matrice symmétrique définie positive
Bonjour,
Tu veux prouver que, pour tout y,
[tex]\langle A^{-1}y,y\rangle >0[/tex]
Tu poses y=Ax, et tu obtiens
[tex]\langle A^{-1}Ax,Ax\rangle = \langle x,Ax\rangle>0[/tex]
car A est définie positive.
Ca peut aussi se retrouver en étudiant les valeurs propres de A et de son inverse....
Fred.
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#4 15-11-2009 00:12:30
- juheba
- Membre
- Inscription : 14-11-2009
- Messages : 9
Re : Matrice symmétrique définie positive
Je crois avoir compris une partie, mais pas en entier.
Voici ce que j'en ai déduit:
Par définition, si A est symmétrique définie positive alors,
[tex]{d}^{T}A\,d\,>\,0[/tex] , pour tout vecteur [tex]d\noteq 0\,\in {\mathbb{R}}^{n}[/tex]
En prenant le chemin proposé par Fred:
Je peux poser d=Ax et j'obtiens ainsi:
[tex]{d}^{T}{A}^{-1}d\,=\,{\left(Ax\right)}^{T}{A}^{-1}x\,=\,{x}^{T}A\,x\,>\,0[/tex]
Cela dit, je ne vois pas en quoi cela prouve que l'inverse de A est définie positive. Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer?
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#5 15-11-2009 22:25:10
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Matrice symmétrique définie positive
Je ne sais pas quelle est la définition de matrice définie positive tu as alors.
Mais pour moi, une matrice B est définie positive ssi pour tout d,
[tex]d^T B d>0[/tex]
c'est ce que tu as prouvé.
Fred.
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#6 16-11-2009 01:29:11
- juheba
- Membre
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- Messages : 9
Re : Matrice symmétrique définie positive
Bonjour Fred,
C'est exactement la même définition que j'avais.
Après y avoir pensé, j'ai finalement compris.
J'apprécie beaucoup ton aide, faire des preuves est récemment nouveau pour moi.
Merci beaucoup!
Julien.
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