limite de (sin 1/n) à l'exposant (1/n) [Résolu]

tevuac · 10-11-2009 17:25:26

Bonjour,
Je bloque encore sur des exercices comme celui-ci . Je ferais peut-être mieux de jouer au SUDOKU!
Merci à celui qui poura me débloquer et peut-être m'indiquer un cours sur le net qui me permettrait de régler les problèmes de difficultés équivalentes ( math sup, pour la spé on verra cela plus tard à moins que je retourne définitivement à ma "vaisselle"!

modification
en fait l'énoncé n'est pas le bon c'est sin (1/n) le tout à l'exposant( 1/ln(n))
Excusez moi pour cette étourderie!

Dernière modification par tevuac (10-11-2009 17:42:32)

freddy · 10-11-2009 18:32:32

Salut,

et tu cherches la limite en + l'infini, je suppose.

first, tu peux poser x=1/n et chercher la limite en 0 par valeurs positives.

second, rien ne t'interdit de remarquer que la limite est celle de exp(-ln(sinx)/ln(x)) quand x tend vers 0+. (car sin(x) > 0 !)

Au voisinage de 0+, sin(x) est équivalent à x, donc tu cours après la limite de -ln(x)/ln(x)=-1

et la limite recherchée est égale à 1/e !

C'est bon ?

Dernière modification par freddy (10-11-2009 19:09:27)

tevuac · 10-11-2009 19:39:59

Je crois avoir compris mais il me reste à voir comment utiliser les équivalents avec ln : il me semble que tu utilises une propriété que je ne maitrise pas : si u ~ v alors ln u~lnv
Merci beaucoup, freddy

freddy · 10-11-2009 19:52:27

re,

regarde le théorème sur les fonctions composées et les équivalences desdites fonctions au voisinage d'un point (et surtout regarde bien dans quel cas on peut le faire).

Mieux : reprends tout ton cours là dessus. je n'ai pas meilleur conseil à te donner, et surtout ne joue plus au SUDOKU, car tu as la face au Nord.

Bb

Dernière modification par freddy (10-11-2009 19:52:42)

freddy · 10-11-2009 21:19:36

Re,

tiens, va jeter un oeil là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … /d/dl.html

Fred · 10-11-2009 21:45:33

Salut Tevuac, ca faisait longtemps qu'on ne t'avait pas vu trainer par ici...

Je ferai un peu comme Freddy (en passant par l'exponentielle), mais en utilisant des DL plutôt que des équivalents pour être sûr de ne pas faire d'erreurs.
Donc on a :
[tex]\sin(1/n)=1/n+o(1/n)[/tex]

D'où
[tex]\ln(\sin(1/n))=\ln(1/n+o(1/n))=\ln\left(\frac1n\times\big(1+o(1)\big)\right)=-\ln n+\ln(1+o(1))[/tex]

et finalement
[tex](\sin(1/n))^{1/\ln n}=\exp\left(\frac1{\ln n}\big(-\ln n+\ln(1+o(1))\big)\right)=\exp\left(-1+\frac{\ln (1+o(1))}{\ln n}\right)[/tex]

On en déduit bien que la limite est 1/e.

Fred.

freddy · 10-11-2009 22:22:25

Salut Fred,

t'as raison, je l'ai fait à la "grosse louche".

tevuac · 11-11-2009 12:11:51

Merci à Fred et à freddy,
La proposition de freddy m'a obligée à revoir les opérations sur les équivalents ( mais pas dans mon cours qui date de 78-79: il ne me rappelle pas particulièrement de bonnes années... ) .
Je retiens de mes recherches d'hier que si u et v >0 , u~v , limu différent de 1 alors lnu ~ lnv
La proposition de Fred me convient car elle demande moins de connaissances. Cette année , j'ai recentré mes objectifs ( programme de sup + aide à mon fils qui fait une PTSI. On verra pour la suite). J'ai fait une pose cet été et j'ai repris les révisions à la rentrée : j'ai travaillé sur des ch plus faciles mais que j'avais complètement oubliées. Les corrigés me suffisaient : ce qui explique mon silence.
Je travaille ces jours-ci dans le livre du fiston et je suis étonnée de trouver des exercices comme celui que nous venons de traiter car il n'y a pas grand chose dans le cours...
Par ex comment trouver une suite simple équivalente à

( tan( pi/3 + 1/n) ) à l'exposant n

Merci encore et à bientôt

Fred · 11-11-2009 22:07:57

Re-

Salut, c'est toujours la même chose, en faisant un développement limite, en passant par l'exponentielle et le logarithme. Tu auras besoin du DL de sin(pi/3+1/n), qu'on peut obtenir à l'aide des formules de trigo de type sin(a+b)...
A première vue, ca a l'air super calculatoire!

Fred.

tevuac · 12-11-2009 08:32:06

Merci,Fred
Je vois cela aujourd'hui. Je n'avais pas l'idée des formules trigo. Les DL me posent encore trop de difficultés. Un plan d'attaque s'impose
A bientôt.
Mireille

tevuac · 13-11-2009 11:29:20

Bonjour,
Je ne veux pas laisser cette conversation sans suite .Aussi je dois avouer que cet exercice me résiste toujours . Je sais que Fred ou freddy se ferait un plaisir de me donner la solution mais cela ne résoudrait pas vraiment le problème et puis personne n'attend m'a copie...
Donc, on laisse tomber pour l'instant mais je garde l'exo en mémoire et je proposerai(s) une réponse
beaucoup plus tard quand j'aurai assimilé les calculs avec les DL
A bientôt, probablement à propos d'autres exercices...

freddy · 13-11-2009 11:53:32

Salut tevuac,

ce que Fred te suggère est de convertir sin(a+b) en sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b). Et puisque a = pi/3, il ne te reste que cos(1/n) et sin(1/n) à développer en termes de forme 1/n + terme négligeable...que tu peux convertir en x=1/n qui tend vers 0 qd n tend vers l'infini.

De fait, tu vas te ramener à qque chose du genre exponentielle de ln(u +vx+terme négligeable)/x) qd x tend vers 0, et le quotient devrait te rappeler la définition d'une limite connue.

Bon courage, et surtout "never a inch"

Bis bald

tevuac · 13-11-2009 17:05:49

Bon , OX , freddy
Je contiue puisque tu insistes!
je trouve

tan(pi/3 + x) = [tex]\left(\sqrt{3}+x+o\left(x\right)\,\right)\left(\,1\,-\,\sqrt{3}x\,+o\left(x)\right)\right)[/tex]

soit [tex]\sqrt{3}+4x+o\left(x \right)[/tex] ( c'est le quotient , bien sûr)
on travaille donc ave[tex]\frac{1}{x}\,\ln \left(\,\sqrt{3}\,+\,4x\,+o\left(x\right)\right)[/tex]
que je transforme en [tex]\frac{1}{x}\ln \,\sqrt{3}+\frac{1}{x}\ln \left(1\,+\,\frac{4}{\sqrt{3}}x\,+\,o\left(x\right)\right)[/tex]
or [tex]\frac{\sqrt{3}}{4x}\ln \,\left(1\,+\,\frac{4}{\sqrt{3}}x\,+\,o\left(x\right)\,\right)\,=\,\frac{4}{\sqrt{3}}x+o\left(x\right)[/tex]
ce qui me donne [tex]\frac{1}{x}\ln x\,+\,\frac{16}{3}x\,+\,o\left(x)\right)\,[/tex]

Est-ce correct et comment terminer?
Rappel: tout cela n'a pas de caractère urgent et merci pour les encouragements

Dernière modification par tevuac (13-11-2009 17:08:11)

Fred · 13-11-2009 21:55:25

Bonsoir,

Il y a un truc que je ne comprends pas. On a tout simplement
[tex]\ln\left(1+\frac4{\sqrt 3}x+o(x)\right)=\frac4{\sqrt 3}x+o(x)\right)[/tex]
Donc tu trouves un truc du type

[tex]\frac1x\left(\ln a+bx+o(x)\right)[/tex] (je n'ai pas cherché à calculer a et b),
soit, avec x=1/n

[tex]\tan(\pi/3+1/n)^n=\exp\left(n\ln a+b+o(1))=a^n \exp(b)\exp(o(1))[/tex]
Si tu poses [tex]v_n=a^n \exp(b)[/tex], alors
[tex]\frac{\tan(\pi/3+1/n)^n}{v_n}=\exp(o(1))[/tex]
tend vers 1 par composition des limites.
Donc l'équivalent recherché est [tex]a^n \exp(b)[/tex].

tevuac · 13-11-2009 22:55:01

Merci Fred,
J'ai obtenu [tex]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sqrt{3}}^{n\,}{e}^{\frac{4}{\sqrt{3 }}}[/tex]
Le livre donne une réponse différente
[tex]{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^{n}{e}^{\frac{4}{\sqrt{3}}}[/tex]
Peut-on par hasard éliminer facilement une des réponses
A bientôt

Fred · 14-11-2009 07:56:08

Puisque [tex]\tan(\pi/3)=\sqrt{3}[/tex] et que ta suite se comporte à peu près comme tan(pi/3)^n, c'est toi qui as raison.
F.

tevuac · 14-11-2009 09:31:31

Merci, Fred

freddy · 14-11-2009 14:21:33

tevuac a écrit :

Bon , OK , freddy
Je contiue puisque tu insistes!
je trouve
tan(pi/3 + x) = [tex]\left(\sqrt{3}+x+o\left(x\right)\,\right)\left(\,1\,-\,\sqrt{3}x\,+o\left(x)\right)\right)[/tex]
soit [tex]\sqrt{3}+4x+o\left(x \right)[/tex] ( c'est le quotient , bien sûr)
on travaille donc ave[tex]\frac{1}{x}\,\ln \left(\,\sqrt{3}\,+\,4x\,+o\left(x\right)\right)[/tex]
que je transforme en [tex]\frac{1}{x}\ln \,\sqrt{3}+\frac{1}{x}\ln \left(1\,+\,\frac{4}{\sqrt{3}}x\,+\,o\left(x\right)\right)[/tex]
or [tex]\frac{\sqrt{3}}{4x}\ln \,\left(1\,+\,\frac{4}{\sqrt{3}}x\,+\,o\left(x\right)\,\right)\,=\,\frac{4}{\sqrt{3}}x+o\left(x\right)[/tex]
ce qui me donne [tex]\frac{1}{x}\ln x\,+\,\frac{16}{3}x\,+\,o\left(x)\right)\,[/tex]
Est-ce correct et comment terminer?
Rappel: tout cela n'a pas de caractère urgent et merci pour les encouragements

Re,

[EDIT] Tel l'indien sur la piste, je déroule mon idée. Mais je déclare haut et fort que c'est bien Fred qui a raison, car c'est lui Le Prof ici. C'est pour ça que je lui soumets implicitement mes raisonnements.[/EDIT]

Je vais juste indiquer comment je voyais cette affaire.

Au début, je cherchais la limite de l'expression pour n -> infini
[tex](\tan(\frac{\pi}{3}+\frac{1}{n}))^n[/tex].

Tevuac arrive à un résultat tel que, puisqu'on sait que ln(x)/x -> 0 qd x ->0, on en déduit, comme Fred, que la limite de la fonction composée est égale à exp(0) = 1.

Ce qui veut dire qu'on peut ramener l'expression ci dessus en un quotient de termes dont le dénominateur serait équivalent à son numérateur au voisinage de l'infini.

On a [tex]\ln( \sqrt{3}+4/n) = \ln(3)/2 + 4/3\times \frac{\sqrt{3}}{n}[/tex]

et [tex]exp[n\times \ln( \sqrt{3}+4/n)] = (\sqrt{3})^n\times exp(\frac{4}{3}\times \sqrt{3})[/tex]

Le membre de droite est donc la suite (simple ???) recherchée. Ce qui montre par conséquence collatérale que tevuac avait raison.

Bis bald.

Fred · 14-11-2009 23:05:11

Salut,

Là où tu as tort, Freddy, c'est lorsque tu écris
[tex]\ln(3+4/n)=\ln(3)/2+4/3\times\frac{\sqrt 3}{n}[/tex]
Ces deux quantités ne sont pas égales, c'est comme si tu écrivais que ln(1+x)=x
Il faut rajouter l'infiniment petit que l'on néglige, et il est important pour savoir ce qui se passe quand on compose.
Rappel : on ne peut pas composer des équivalents....

[tex]x\sim_{+\infty}x+\sqrt x[/tex]
Mais
[tex]e^x =_{+\infty}o(e^{x+\sqrt x})[/tex]

Cela dit, l'idée de Freddy est la piste à suivre quand on cherche à deviner l'équivalent simple.

A+
Fred.

freddy · 14-11-2009 23:20:43

Re,

exact Fred, ça manque un peu de rigueur.

Dans mon jeune temps, je disais que "truc(x) se comporte comme ... au voisinage de 0".

Je vais veiller à être + rigoureux dans la rédaction des pistes que je vois, mon plaisir étant de les trouver et de les transmettre de façon pédagogique.

Bb

Dernière modification par freddy (14-11-2009 23:21:33)

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#1 10-11-2009 17:25:26

limite de (sin 1/n) à l'exposant (1/n) [Résolu]

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