Forum de mathématiques - Bibm@th.net

malika70

Membre

Inscription : 03-11-2009

Messages : 2

Vecteurs : Prouver que deux droites sont parallèles [Résolu]

Bonjour,
J'ai tout essayé mais je ne comprend pas comment résoudre cet exercice :

Soit ABC un triangle non aplati
Soit I le milieu de AB
Soit D le point vérifiant :
vecteur AD = 2vecteurs DC + 3vecteursDB
Montrer que les droites (AC) et (ID) sont parallèles .

J'ai essayé de prouver que les deux droites étaient paralléles en montrant que les vecteurs AC et ID étaient colinéaires mais je n'ai pas réussi ...

Merci d'avance pour votre aide

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Vecteurs : Prouver que deux droites sont parallèles [Résolu]

Bonjour malika70,

Et Bienvenue sur BibM@th...
Tu dois partir de :
[tex]\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}+3\overrightarrow{DB}[/tex]
puis
1. Par la relation de Chasles, décomposer [tex]\overrightarrow{DC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{DB}[/tex] en passant par A
2. Déveloper en multipliant la première somme par 2 et la 2e par 3,
3. Réduire, en additionnant les vecteurs [tex]\overrightarrow{DA}[/tex]
4. Changer les vecteurs [tex]\overrightarrow{DA}[/tex] de membre,
5. Réduire
6. Ecrire alors [tex]\overrightarrow{AD}=\cdots[/tex]

Tu dois trouver la suite toute seule...

Tu devras arriver à tomber sur [tex]\overrightarrow{ID}=k.\overrightarrow{AC}[/tex] comme tu l'avais prévu.

@+

PS

Si tu veux écrire es maths, tu dois vérifier si tu as l'environnement Java installé sur ta machine --> Panneau de Configuration, Ajout/suppression de Programmes (Ou Programmes et Fonctionnalités avec Vista).
Dans la liste, tu dois trouver la mention Java (TM)... à côté d'un icône représentant une tasse de café fumant (Java, en argot américain, c'est du café !)
Si oui, alors tu peux utiliser l'Editeur de formules mathématiques en cliquant sur "Insérer une équation".

malika70

Membre

Inscription : 03-11-2009

Messages : 2

Re : Vecteurs : Prouver que deux droites sont parallèles [Résolu]

Merci beaucoup !
par contre je trouve à la fin
5vecteurAD = 2vecteurAC + 3vecteurAB
et je ne sais pas comment faire ensuite pour tomber sur vecteur ID = k fois vecteur AC ...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Vecteurs : Prouver que deux droites sont parallèles [Résolu]

Salut,

Pas 5 mais 6 ! Tu en avais déjà un...
Tu dois arriver à :
[tex]\overrightarrow{AD}={1 \over 3}\overrightarrow{AC}+{1 \over 2}\overrightarrow{AB}[/tex]
Tu n'as de point I, donc il faut le faire apparaître : décompose donc [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]  en passant par A et  remplace [tex]{1 \over 2}\overrightarrow{AB}[/tex] par [tex]\overrightarrow{AI}[/tex].
[tex]\overrightarrow{AC}[/tex] par contre tu n'y touches pas c'est un des éléments de comparaison...

Trouve la suite en ne perdant pas de vue que tu veux faire apparaître [tex]\overrightarrow{ID}[/tex] côté gauche...

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 403

Re : Vecteurs : Prouver que deux droites sont parallèles [Résolu]

Re,

On finit le boulot et on ferme...
En partant de : [tex]\overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{DC}+ 3\overrightarrow{DB}[/tex]
on obtient :
[tex]\overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{AC}+ 3\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{AB}[/tex]
Soit :
[tex]\overrightarrow{AD}= 5\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}[/tex]
Ou encore
[tex]\overrightarrow{AD}-5\overrightarrow{DA} =2\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}[/tex]
[tex]6\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}[/tex]
Et pour finir, en divisant les deux membres par 6 :
[tex]\overrightarrow{AD} ={1\over 3}\overrightarrow{AC}+{1 \over 2}\overrightarrow{AB}[/tex]
On fait apparaître [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] dans le 1er membre avec la relation de Chasles, et en utilisant le fait que I est le milieu de [AB] dans le 2e membre :
[tex]\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID} ={1\over 3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AI}[/tex]
D'où l'égalité cherchée :
[tex]\overrightarrow{ID} ={1\over 3}\overrightarrow{AC}[/tex]

Voilà, c'est fini.

@+